Потери давления на трения. Уравнение Навье-Стокса для движения реальной жидкости.

Поскольку реальная жидкость имеет вязкость, т.е. силы внутреннего трения, в уравнение Эйлера добавляется вектор массовой плотности силы внутреннего давления.

Рассмотрим случай, когда жидкость движется только в направлении оси (Х), а скорость ее уменьшается вдоль оси (у). Сила трения (касательное напряжение) действующая на каждую грань со стороны ниже лежащих, более медленных слоев в жидкости, определяется:  - (1) –формула Ньютона

В верхней грани касательное напряжение равно : , а его направление будет совподать с движение жидкости поскольку оно возникает под действием вышележащих, более быстрых слоев жидкости. Сила трения определяется как произведение касательного напряжения, на соотв. S.

Равнодействующая сил трения: F_тр.х

Или - F_тр.х ( )/dV - (2)

Поскольку рассматривается массовая плотность силы трения, запишем:

 - (3).

Подставим в эту формулу уравнение (1) (Формула Ньютона):

F_{тр.х  -} (4)

Если скорость имеет три компоненты, которые не равны нулю, выражение (4) записывается виде: F_{тр.х  -} (5).

Выражение для проекции на оси У и Z соответственно:

F_тр.х (6) F_тр.х  - (7)

Или в векторной форме классовая плотность силы внутреннего трения запишется в след. виде: F_тр.х   - (8)

Добавив уравнение (8) в правую часть уравнения Эйлера, получаем уравнение движения реальной жидкости (несжимаемой), которое называется уравнением Новье-Стокса :  – grad(P)+

Для сжимаемой реальной жидкости учитываются силы внутреннего трения обусловленные сдвигом слоев в рез-те сжатия или расширения жидкости, и тогда уравнение Новье-Стокса принимает вид:

 - grad(P)+

Распределение давления в неподвижных жидкостях и газах. Изменение давления по высоте в сжимаемом газе.

Для определения распределения давления используются уравнение Эйлера:

= или  (2)

Если решать ур. Эйлера для двух сечений, несжимаемого газа ( получается основное ур-ие статики:

P₂=P₁ (3)

P₁=P₂ (4)

Уравнения показывают, что давление линейно падает с высотой, и тем больше, чем выше плотность газа. Для жидкостей говорят, что давление увеличивается по глубине.

Рассмотрим распределение давления газа, находящегося в сосуде. Статическое давление – это разность между давление газа и окружающей среды: h_ст= P_г – P_в     (4)

Если давление газа в сосуде меньше атмосферного, тососуд находится под разряжением - h_раз= - h_ст=P_в-P_г (5)

Поверхность в каждой точке которой статическое давление равно нулю называется уровнем нулевого избыточного давления.

Для металлургической теплотехники важное значение имеет распределение давления в сосуде с горячим газом.

Рассмотрим 2 случая распределения давления для сосуда открытого снизу, и для сосуда открытого сверху.

В случае сосуда открытого снизу в сечении 1 сосуд сообщается с окружающей средой, а давление газа равно давлению окружающего воздуха, т.е. h_ст(1)=Р_г(1) – Р_в(1) =0 ,

В сечении 2 давление газа Р₂₂= Р₁₁- ₂gh, давление воздуха Р_в(2)= Р_в(1)- _вgh, статическое давление в сечении 2: h_ст(2)=Р_г(2) – Р_в(2) =gh( ) (6)

С другой стороны избыточное давление обусловленное разностью плотностей является геометрическим давлением, поэтому: h_ст= h₂=gh( ) (7)

Для сосуда открытого сверху статическое давление в сечении 1 равно 0:

h_ст(1)= Р_г(1) – Р_в(1) =0

Статическое давление в сечении 2: h_ст(2)= Р_г(2) – Р_в(2) = gh - ( ) (8)

Или                                                 - h_ст(2)= h_раз(2) = gh( ) (9)

Из уравнения (9) следует, что при  избыточное давление в сосуде отрицательное, то он находится под разряжением.