Инерциальные навигационные системы. Теоретические основы

ГЛАВА 3. ГРАВИТАЦИОННАЯ И ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ГРАВИМЕТРИЯ

Для определения местоположения различных транспортных средств на суше, на море и в воздухе широко используются инерциальные навигационные системы.

Инерциальный измерительный модуль содержит систему из трех взаимно перпендикулярных акселерометров и систему ориентации, содержащую набор гироскопов гирометров (инерциальная платформа).

Измеряемой величиной согласно закону Ньютона является ускорение

где – сила, m – масса, – удельная сила, отнесенная к единице массы.

Ускорение содержит в себе ускорение подвижного носителя и гравитационное ускорение , то есть:

(3.2)

В системе координат, жестко связанной с вращающейся Землей, будут возникать ещё и центробежное и кориолисово ускорения, которые необходимо учитывать в выражения (3.2). Преобразовав (3.2), с учетом вышеуказанных ускорений и двойного интегрирования, получим:

(3.3)

(3.4)

В выражениях (3.1) и (3.2) была рассмотрена структура инерциального ускорения , а теперь остановимся на учёте гравитационного ускорения . В большинстве случае, при определении координат с невысокой точностью, для учёта гравитационного ускорения достаточна нормальная модель гравитационного поля Земли. Для более точных геодезических определений, где требуется точность в определении ускорений порядка

10 мкм/с^–2 , используют локальные аппроксимации гравитационного поля Земли. В спутниковых навигационных системах используют стандартную модель гравитационного поля Земли с гармониками до 10–го порядка включительно.

Трехмерный вектор удельной силы (удельный – значит отнесенный к единичной массе), измеренный в инерциальном пространстве, представляет собой разность вектора, характеризующего ускорение, полученное единичной массой в инерциальной системе координат, и гравитационного вектора , то есть

( 3.4)

Из–за эквивалентности инерциального и гравитационного ускорений их можно разъединить только в том случае, если имеется дополнительная информация о гравитационном поле.

Таким образом, получая из измерений ускорения носителя, и учитывая гравитационное поле, мы имеем возможность, произведя двойное интегрирование, определять местоположение инерциальным методом.

В этом случае участвуют три системы отсчета:

1. инерциальное ускорение определяется инерциальной системой отсчета (равноденственная система инерциальных координат (xoyz)_i).

2. компоненты вектора удельной силы мы измеряем в системе связанной с осями акселерометра – эта инструментальная система координат, её ориентировка при движении носителя меняется

3. фиксированная относительно Земли, локальная система координат, связанная с гравитационным полем Земли. Её ориентировка меняется вследствие вращения Земли и из–за перемещения носителя по маршруту.

При движении в этой системе поддерживается направление отвеса с помощью модели гравитационного поля Земли (чаще достаточно учитывать нормальную модель гравитационного поля). Такой вид ориентира получил название локально – уровенный.

Таким образом, мы координаты пробной единичной массы в инерциальной системе координат определяем радиус вектором

Рис.3.1.

С другой стороны в локально–уровенной системе координат та же единичная масса определяется радиус – вектором .

Переход от вектора к вектору осуществляется при помощи матрицы вращения R_ij, элементы которой являются функциями углов поворота систем и времени t:

. (3.5)

Найдем связь между радиальной скоростью в инерциальной и в локальной системе координат. Ту же самую связь найдем и для ускорений. С этой целью дважды выполним дифференцирование выражения (3.5). Имеем следующие формулы:

(3.6)

(3.7)

В выражениях (3.6) и (3.7) преобразуем матрицы, в которых взяты производные по времени. С этой целью подробнее рассмотрим матрицу R_ij. При переходе от локальной системы в инерциальную необходимо редуцировать наблюдения с момента t на эпоху каталога T₂₀₀₀. С этой целью необходимо выполнить повороты на углы прецессии и нутации, т.е. воздействовать матрицами N×П, где N – матрица нутации, а П – матрица прецессии. Далее необходимо перейти к гринвичской системе, выполнив поворот матрицей S на угол равный звездному времени s. Далее матрицей Р привести мгновенные гринвичские координаты к среднему полюсу и ,наконец, перейти к локальной – уровеннойсистеме, выполнив поворот матрицей L, то есть:

R_ij = L×P×S×N×П (3.8)

Из перечисленных матриц только S имеет сильную зависимость от времени (её аргументом является звёздное время s). Остальные матрицы от времени зависят слабо, т.е. меняются медленно: матрица прецессии П за год дает около 50" , матрица нутации N примерно 10" за период около 19 лет, матрица Р даёт за год менее 1". Матрица L напрямую зависит от длины маршрута, скорости и времени нахождения на маршруте.

Для наземных измерений при передвижении транспортного средства матрица L будет меняться медленно. Поэтому полная производная от R_ij, как от сложной функции, будет или , но

Обозначив , получим

, (3.9)

где W_Å является матрицей проекций угловой скорости Земли.

– (3.10)

Возьмем вторую производную от (3.9) и далее с учетом (3.9) имеем:

. (3.11)

Выражение (3.5)–(3.7) с учетом (3.5), (3.9) и (3.11) приобретает вид:

Аналогично тому, как был выполнен переход от инерциальной системы координат к гринвичской (ГЛАВА.1, параграф 1.1), можно в едином алгоритме выполнить переход от инерциальной системе к локальной. Введя обобщенный вектор состояний в локальной системе координат и на основании выводов и обозначений ГЛАВЫ 1 (формулы 1.11–1.20) мы можем записать

, (3.13)

где –обобщенный вектор состояний в инерциальной системе координат, а матрица X¢_il имеет аналогичную структуру матрицы (1.20) главы1, но с другими обозначениями, т.е.

Матрица (3.14) является блочной, каждый элемент которой состоит из 3–х мерных матриц.

Первый столбец–блок этих 3–х мерных матриц умножается на вектор–столбец , второй – на , а третий – на .