Структурная оптимизация при случайных воздействиях

Оптимизация всегда производится с целью получения оптимальных значений некоторого критерия. Если структура системы выбрана, то оптимизация, как показано в § 5.7, проводится путем выбора значений параметров из условий оптимальности этого критерия. Однако оптимальное значение критерия всегда зависит не только от параметров системы, но и от её структуры. Поэтому более рациональным методом построения оптимальной системы является структурная оптимизация, при которой и структура, и параметры системы оказываются оптимальными.

Если проектируемая система функционирует в условиях случайных воздействий, то её качество оценивается среднеквадратической ошибкой (СКО). Поэтому структурную оптимизацию САУ в этом случае целесообразно проводить путем минимизации СКО. В настоящее время существует два метода решения этой задачи: метод Н. Винера и метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), независимо предложенный А.М. Лётовым и Р. Калманом.

Метод Винера. В этом методе задача синтеза ставится так же, как и в рассмотренном выше методе параметрической оптимизации (см. § 5.7). Эта постановка приведена также на рис. 7.9, где оптимизируемая САУ представлена либо своей передаточной функцией W(p), либо своей импульсной переходной функцией w(t). Входные случайные воздействия  и  задаются либо корреляционными функциями, либо спектральными плотностями.

Случайные сигналы  и  предполагаются  центрированными. Передаточная функция  эталонной системы считается заданной.

Задача оптимизации заключается в определении физически реализуемой  так, чтобы дисперсия  случайного сигнала ошибки  была минимальной, т.е.

.                                                        (7.56)

При решении задачи оптимизации в качестве условия физической реализуемости системы Н. Винером было принято следующее условие:

 при .                                         (7.57)

Для решения задачи при условии (7.57) записывается приведенная выше формула (5.60) для дисперсии СКО, где неизвестной считается вся функция . Далее путем вычисления первой вариации по  определяется оптимальная передаточная функция  или соответствующая ей импульсная переходная функция

.

К сожалению, в большинстве случаев оригинальный метод Винера приводит к физически нереализуемой оптимальной , так как последняя содержит -функции, т.е. обычно имеет вид

.

Эта функция удовлетворяет условию (7.57), но физические элементы, которые имели бы импульсные переходные функции такого типа, создать невозможно.

 Кроме того, САУ обычно содержат так называемую заданную часть – объект управления с исполнительными и измерительными устройствами. Объекты управления, как правило, описываются уравнениями в переменных состояния, уравнениями вход-выход типа (7.4) или передаточными функциями

,                                           (7.58)

где .

Обозначим . Обычно  (например, чистый дифференциатор характеризуется значением , но это не реальное звено, а лишь идеализация реального дифференцирующего элемента с ).

Так как оптимальная передаточная функция системы всегда должна быть физически реализуемой, то она должна иметь параметр  не только больше нуля, но даже больше , так как для системы

,                                                     (7.59)

где  – аналогичный параметр устройства управления, которое будет добавлено к объекту для получения оптимальной системы управления.

Таким образом, с учетом наличия заданной части (7.58)  условие физической реализуемости оптимальной системы имеет вид (7.59). С тем, чтобы учесть это условие, в процедуре оптимизации Н. Винера в качестве критерия оптимальности выбирается следующий функционал:

,                                      (7.60)

где  – неопределенный множитель Лагранжа,  – порядок производной от импульсной переходной функции оптимизируемой САУ.

Второе слагаемое в (7.60) называется  функционалом сложности, так как оно, помимо увеличения параметра  системы, приводит к увеличению и порядка системы управления, т.е. её сложности. Подчеркнём, что в общем случае  может быть вектором.

Выбором значения  – порядка производной в (7.60) можно всегда обеспечить выполнение условия (7.59) при заданных воздействиях  и  и объекте управления (7.58). Более того, воздействия  и  в общем случае могут содержать детерминированные составляющие, т.е.

, .

При этом неслучайные задающее воздействие  и возмущение  задаются своими -изображениями в виде полиномов  и  соответственно. Поэтому в общем случае значение порядка  в (7.51) определяется соотношением

,                                   (7.61)

где  – полином, включающий только правые нули полинома , находящегося в числителе передаточной функции объекта управления (7.58).

В результате проведения оптимизации функционала (7.60) в соответствии с методикой Н. Винера также получается оптимальная передаточная функция , но зависящая от произвольно выбираемого коэффициента ,

При выполнении (7.61) передаточная функция  удовлетворяет условию (7.59), т.е. определяет физически реализуемую оптимальную структуру системы управления для заданных условий. Значение коэффициента  выбирается из условия минимума СКО, т.е. из условия (7.56), а также с учетом различных конструктивных ограничений.

После определения оптимальных значений всех коэффициентов передаточной функции , по ней и по передаточной функции заданной части (7.58) находятся уравнения соответствующего оптимального устройства управления типа (7.25) при ,  с учетом следующих условий физической реализуемости:

, .

Описанная процедура синтеза оптимальных в смысле минимума СКО систем управления является аналитической. Поэтому на её основе могут быть разработаны различного рода программы для расчетов с помощью ПЭВМ.

Пример 7.5. Синтезировать оптимальную следящую систему, если

, , ,

а заданный объект управления описывается уравнением

.                                                        (7.62)

Решение. В данном случае неслучайные составляющие отсутствуют, поэтому поли-

номы , , как и  равны единице. С другой стороны,  и при  по (7.61) имеем . Знаменатель передаточной функции  в данном случае определяется путем факторизации полинома, которая заключается в представлении полинома в виде

,                        (7.63)

где  – полином, включающий только левые, а  – только правые нули полинома в левой части (7.63), соответственно.

Числитель  является решением полиномиального уравнения

,                                (7.64)

где  и  – неизвестные константа и полином второго порядка.

Соотношения (7.63) и (7.64) позволяют найти оптимальную передаточную функцию системы следующего вида:

,                                       (7.65)

где , , .

Численное значение коэффициента  выбирается по условию минимума СКО с учетом допустимого увеличения коэффициентов передачи соответствующего оптимального устройства управления типа (7.25). Уравнения последнего определяются путем приравнивания передаточной функции замкнутой системы и правой части выражения (7.65) с учетом указанных выше условий физической реализуемости.

Замкнутая система состоит из заданного объекта управления (7.62) и оптимального устройства управления, описываемого найденным уравнением типа (7.25) при , . ■

Из выражения (7.65) следует, в частности, что если параметр , то параметр  передаточной функции  становится равным единице, т.е. при заданном объекте управления (7.62), где , передаточная функция оптимальной системы, найденная методом Н. Винера без учета сложности, не может быть реализована.

С другой стороны, на основе выражения (7.65) можно заключить, что включение в оптимизируемый критерий (7.60) интеграла от производной импульсной переходной функции (функционала сложности) приводит к повышению порядка оптимальной системы, т.е. к повышению её сложности с одновременным увеличением её СКО. Другими словами, за физическую реализуемость оптимальных характеристик приходится «платить» повышенной СКО САУ. Однако, соотношение (7.61) позволяет синтезировать оптимальные системы минимальной сложности, т.е. системы с минимальным повышением СКО.

Оптимизация методом АКОР. Метод АКОР позволяет решить ту же самую задачу определения оптимального устройства управления с  учетом  условий  физической  реализуемости,  но  на основе уравнений в переменных состояния:

,                                             (7.66)

.                                                 (7.67)

Здесь , , – матрицы уравнений заданной части системы. Эти уравнения записываются с учетом математических моделей в переменных состояния объекта управления (7.58), неслучайных воздействий ,  и формирующих фильтров “цветных” случайных воздействий  и . Поэтому  – обязательно белый шум, возбуждающий формирующие фильтры “цветных” случайных воздействий. В общем случае шум  может отсутствовать.

Равенство (7.67) называется уравнением наблюдения. Здесь символом  обозначены шумы измерительных устройств. Эти шумы называются шумами наблюдений, и обычно предполагается, что они являются белыми, причем всегда дисперсия .

Отметим, что если уравнения (7.66), (7.67) включают математические модели детерминированных или случайных воздействий, то этот объект управления называется расширенным. Задача синтеза системы управления здесь заключается в выборе оптимального управления вида

.                                                       (7.68)

Здесь K_ор – матрица оптимального регулятора, которая и должна быть определена в результате решения задачи оптимизации.

При этом обычно предполагается, что вектор выходных переменных y в (7.66), (7.67) является вектором сигналов ошибки, т.е.

.

Тогда матрица дисперсий ошибок

или

,

где  – симметрическая матрица.

Таким образом, дисперсию ошибки управления можно представить в виде квадратичной формы и найти оптимальное управление из условия минимума величины . Но, как и в случае фильтра Винера, получаемое таким путём решение оказывается физически нереализуемым. Поэтому для обеспечения реализуемости А.М. Лётов и Р. Калман в конце 50-х годов двадцатого века независимо друг от друга предложили искать управление (7.68) путем минимизации функционала вида

,                                          (7.69)

где Q и R– матрицы коэффициентов, причем , а . Выбором коэффициентов матриц Q и Rобеспечивается желаемый характер переходных процессов оптимальной системы управления. Оптимальное управление, при котором достигается минимум функционала (7.69), является управлением по состоянию и определяется выражением

.                                             (7.70)

Здесь матрица  является решением нелинейного матричного уравнения Риккати

,                                 (7.71)

где  и  – матрицы из уравнения объекта (7.66).

Интересно, что, несмотря на наличие белых шумов, приложенных к расширенному объекту управления (7.66), их характеристики никак не влияют на оптимальное управление (7.70). Что же касается цветных шумов, которые приложены к исходному объекту управления (см. рис. 7.9), то их свойства учитываются в уравнениях расширенного объекта, путем включения в (7.66) уравнений соответствующих формирующих фильтров. Соотношения (7.66) – (7.71) составляют содержание метода АКОР.

Для решения уравнения Риккати (7.71) разработаны специальные программы, которые содержатся в системах математического обеспечения ЭВМ. Однако в случае объекта второго порядка это уравнение можно решить аналитически.

Пример 7.6. Найти оптимальное управление скоростью двигателя, отклонения которой от заданного значения описывается следующими уравнениями:

, .

Решение. Найдем сначала матрицу Q из уравнения Риккати (7.71) по приведенной выше формуле , т.е. в данном случае

.

Пусть . Тогда, подставляя в (7.69) матрицы  и , будем иметь

.               (7.72)

В данном случае порядок системы , поэтому решение уравнения Риккати (7.71) – матрица K имеет вид

.

По определению K – симметрическая матрица, т. е. . Поэтому в данном случае из (7.71) вытекает уравнение

.

Если в этом матричном уравнении произвести все необходимые операции над матрицами в левой части и приравнять друг другу элементы матриц слева и справа, то получится система из трех уравнений относительно . Решение этих уравнений даёт следующие значения: ; ; . Подставляя выражения для матриц ,  и  в (7.70), получим оптимальное управление

.                                            (7.73)

Это управление минимизирует функционал  (7.72). ■

Полученное оптимальное управление по состоянию (7.73) может быть реализовано только тогда, когда переменные состояния ,  могут быть измерены. Другими словами в тех случаях, когда могут быть получены физические величины, пропорциональные этим переменным состояния, и которые могут быть введены в регулятор, представляющий в данном

случае совокупность двух усилителей и сумматор.

Оптимальное оценивание переменных состояния. Если измеряемая переменная объекта измеряется без ошибки, то в качестве переменных в оптимальном управлении (7.70) можно взять асимптотические оценки (см. § 3.7) переменных состояния объекта управления (7.66), (7.67). Однако обычно выходной сигнал измерительных приборов сопровождается шумом, как это видно из уравнения (7.67). Поэтому для получения оценок переменных состояния здесь целесообразнее применить наблюдатель, который бы наилучшим образом подавлял влияние этих шумов. Эту задачу и решает фильтр Калмана-Бьюси или оптимальный наблюдатель. Рассмотрим его уравнения.

При этом, по-прежнему, будем предполагать, что объект описывается уравнениями (7.66) и (7.67), а белые шумы характеризуются матрицами дисперсий

, .                     (7.74)

Оптимальный наблюдатель строится так, чтобы след матрицы дисперсий сигнала ошибки оценивания  вектора переменных состояния x расширенного объекта(7.66) и (7.67) был минимальным, т.е. если , то

,

где  – след матрицы .

Уравнение фильтра Калмана-Бьюси для объекта (7.66), (7.67) имеет вид

,                                            (7.75)

и, как видно, совпадает с уравнением обычного наблюдателя Калмана (см. § 3.7). Лишь матрица обратных связей L определяется здесь по-другому, а именно, по формуле

,                                                (7.76)

где P– решение матричного уравнения Риккати, которое в этом случае имеет вид

.                                        (7.77)

При наличии вектора оптимальных оценок  вектора переменных состояния x

оптимальное управление  (7.70) определяется выражением

.                                                   (7.78)

Обратим внимание, что уравнение оптимального наблюдателя никак не связано с уравнением оптимального регулятора, т.е. задачи оптимального управления и оптимального оценивания в случае линейных систем решаются независимо друг от друга.

Пример 7.7. Построить оптимальный наблюдатель (7.75) для оценивания переменных состояния двигателя, рассмотренного в предыдущем примере 7.6, при наличии случайного возмущающего момента  и белого шума измерений отклонения скорости от заданного значения. Уравнения заданной части системы имеют вид

,                                       (7.79)

                                                                 (7.80)

где  – случайный белый шум с дисперсией ;  – случайная ошибка измерения отклонений скорости двигателя, которая является случайным процессом типа белого шума с дисперсией .

Решение. В нашем случае матрицы  и  (7.74) равны

, ,

а уравнение Риккати (7.77), определяющее коэффициенты обратной связи наблюдателя, принимает вид

,

где

.

Решение приведённого уравнения Риккати дает значения: ; ; . Подставляя в (7.76) матрицы ,  и величину , получим

.

Следовательно, уравнение фильтра Калмана-Бьюси (7.75) и управление по состояниям (7.78) с учетом (7.73) в данном случае имеют вид

,                                 (7.81)

. ■                                               (7.82)

Полученная система уравнений (7.81), (7.82), по существу, описывает оптимальный регулятор для объекта (7.79), (7.80), построенный методом АКОР или, как говорят иногда, путем оптимизации во временной области. Для сравнения, заметим, что при решении аналогичной задачи методом Н. Винера оптимизация проводится в частотной области.

Структура оптимальных систем с наблюдателем. На основании изложенного выше

можно заключить, что оптимальная система управления с оптимальным наблюдателем состояния имеет структуру, приведённую на рис. 7.10. Как видно, в этом случае система состоит из трех частей: собственно объекта управления, оптимального наблюдателя и формирователя оптимального управления. Наблюдатель и формирователь образуют оптимальный регулятор.

Обратим внимание, что структура оптимального наблюдателя практически полностью совпадает со структурой расширенного объекта. Небольшое отличие заключается лишь в дополнительной обратной связи, определяемой матрицей L.

Фактически для построения оптимальной системы (рис. 7.10) необходимо решить два уравнения Риккати (7.71) и (7.77). Удобнее всего это осуществляется с помощью программы LQG из пакета MATLAB, которая по заданным уравнениям (7.66), (7.67) расширенного объекта, критерию (7.69) и характеристикам (7.74) шумов вычисляет параметры непосредственно уравнений оптимального регулятора (7.75), (7.78).

Для обращения к этой программе предварительно формируются вспомогательные матрицы