Размещение полюсов системы. Модальное управление

Предположим, некоторый объект управления описывается уравнениями (7.1), (7.2), и нескорректированная система (7.3) не удовлетворяет заданным требованиям к качеству проектируемой системы.

При синтезе САУ методом модального управления предполагается, что управление определяется выражением

,                                  (7.4)

где g – задающее воздействие; x– вектор переменных состояния объекта управления (7.1), (7.2); k = [k₁ k₂ … k_n]^T – вектор варьируемых параметров устройства управления (УУ), которые выбираются, исходя из требований к качеству процесса управления.

Управление (7.4) по существу является одним из видов управления по состоянию (см. § 1.4), так как связь по задающему воздействию g здесь не варьируется, не изменяется. При выборе управления в виде (7.4) образуется замкнутая система, схема которой приведена на рис. 7.1, поэтому уравнение (7.4) одновременно является уравнением замыкания.

Подставляя (7.4) в (7.1), получим

,                                        (7.5)

где – системная матрица замкнутой системы.

Условимся для краткости называть полюсами системы (7.5), корни характеристического уравнения

                                                      (7.6)

или, что то же самое, собственные числа системной матрицы .

Определение. Если коэффициенты  в равенстве (7.4) выбраны так, что полюсы замкнутой системы (7.5) имеют заранее заданные значения, то управление (7.4) называется модальным управлением. ■

Название «модальное управление» связано с тем, что если некоторая система имеет полюсы , , то при  все ее переменные состояния ,  можно представить в виде сумм

, .                                     (7.7)

Аналогичной комбинацией слагаемых ,  в этом случае можно представить и выходную переменную y(t).

Слагаемые ,  называются модами системы. Поэтому, поскольку моды , согласно определению, обеспечиваются управлением (7.4), оно и называется модальным.

С другой стороны, при модальном управлении полюсы системы располагаются в заранее заданных точках комплексной плоскости, т.е. являются желаемыми (заданными) полюсами. Поэтому задачу синтеза модального управления иногда называют задачей размещения полюсов системы, имея в виду, что именно параметры области расположения полюсов, как показано в § 6.3, определяют косвенные оценки прямых показателей качества динамических систем управления.

Рассмотрим методы определения коэффициентов ,  модального управления

(7.4). Эти методы существенным образом зависят от формы уравнений объекта управления.

Предположим, уравнения (7.1), (7.2) объекта управления записаны в канонической управляемой форме (КУФ), т.е. имеют вид

, .         (7.8)

Отметим, что в этом случае коэффициенты последней строки матрицы Aиз уравнений объекта (7.8) совпадают со взятыми с обратным знаком коэффициентами характеристического полинома

                                    (7.9)

объекта (7.1), (7.2).

 Чтобы найти системную матрицу  из (7.5), вычислим сначала произведение

.

При этом системная матрица замкнутой системы (7.5)

,

также имеет сопровождающую форму. Поэтому её характеристический полином, т.е. характеристический полином замкнутой системы (7.5) определяется выражением

.           (7.10)

Обозначим , , ...  заданные значения полюсов системы и найдем коэффициенты  желаемого характеристического полинома синтезируемой системы

.                          (7.11)

Приравнивая коэффициенты полиномов (7.10) и (7.11), получим формулы, которые

определяют коэффициенты искомого управления (7.4). Действительно, если

, ,                                             (7.12)

то, очевидно, выполняются равенства , т.е. коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (7.5) совпадают с коэффициентами полинома, корни которого равны заданным значениям полюсов системы.

Таким образом, равенство (7.12) позволяет вычислить значения коэффициентов  модального управления (7.4) в тех случаях, когда уравнения объекта заданы в канонической управляемой форме (7.8).

Пример 7.1. Пусть объект описывается уравнением

.

Найти модальное управление так, чтобы полюсы замкнутой системы имели значения , .

Решение. Так как , то искомое управление, согласно (7.4), определяется равенством

                                               (7.13)

где – неизвестные параметры. Уравнения заданного объекта имеют каноническую управляемую форму, поэтому, согласно (7.8), (7.9), в данном случае . Желаемый характеристический полином системы найдём по формуле (7.11)

,

т.е. , . Поэтому по формулам (7.12) находим

, .

Подставляя эти значения в (7.13), получим искомое модальное управление

.

Структурная схема синтезированной системы приведена на рис. 7.2. Непосредственно по этой схеме или, подставив найденное управление в уравнения заданного объекта, легко убедиться, что замкнутая система действительно имеет заданные полюсы. ■