Расчет модального управления в общем случае

Если уравнения объекта (7.1), (7.2) имеют не КУФ (7.8), а любую другую форму, то для расчета параметров модального управления можно предварительно привести заданные уравнения объекта к КУФ. Как известно, это приведение осуществляется с помощью преобразования , где матрица

.                                                         (7.14)

Здесь U – матрица управляемости, определяемая выражением (3.3) при В = b, а -матрица М по-прежнему определяется выражением (3.43) с использованием коэффициентов a_i характеристического полинома (7.9) системной матрицы А из уравнения объекта (7.1).

Однако для того, чтобы уравнения общего вида объекта (7.1), (7.2) можно было привести к КУФ, необходимо, чтобы detU¹ 0.

Таким образом, задачу расчета параметров модального управления (произвольного размещения всех полюсов системы) в случае объекта общего вида можно решить только тогда, когда объект является полностью управляемым.

Алгоритм решения задачи в этом случае состоит из следующих шагов:

1. Для заданного объекта (7.1), (7.2) найти матрицу управляемости U (3.3).

2. Если detU¹ 0, то перейти к пункту 3, в противном случае задача не имеет ре-

шения.

3. Найти det(pE – А) (7.9) и его коэффициенты , .

4. Построить по (7.14) матрицу  и обратную к ней .

5. Построить по (7.11) полином  и найти , .

6. Найти вспомогательный вектор  по (7.12), т.е. в соответствии с равенствами , .

7. Перейти к исходной системе координат, полагая .

8. Для проверки найти матрицу , а затем коэффициенты её характеристического полинома. При безошибочных расчетах коэффициенты полученного полинома совпадают с коэффициентами ,  полинома . ■

Пример синтеза модального управления в общем случае приводится в следующем параграфе

Инвариантность нулей систем с модальным управлением

Если замкнутая система управления синтезирована на основе управления по состоянию, то она обладает одним интересным свойством, которое позволяет, в частности, назначать желаемые полюсы системы с учётом требуемого порядка астатизма.

Предположим, для объекта управления (7.1), (7.2) общего вида найдены передаточные функции

,                                              (7.15)

,                                             (7.16)

где полином , полином , а полином . Затем было найдено управление по состоянию  (7.4) в

соответствии с полиномом , что привело к образованию замкнутой системы (7.5).

Утверждение. Передаточная функция по задающему воздействию системы с управлением по состоянию (7.4) имеет тот же числитель, что и передаточная функция по управлению (7.15) исходного объекта, т.е.

. ■                                       (7.17)

В то же время передаточная функция системы по возмущению

                                               (7.18)

имеет в числителе полином, отличающийся от полинома в числителе передаточной функции (7.16) объекта по тому же возмущению.

Другими словами, при назначении желаемых полюсов замкнутой системы коэффициенты числителя передаточной функции (7.17) являются известными величинами. Это позволяет назначить желаемые полюсы замкнутой, синтезируемой системы, например, так, чтобы выполнялись условия (5.41) при . В результате замкнутая система с модальным управлением будет обладать  порядком астатизма по задающему воздействию.

Если переменные состояния объекта управления (7.1), (7.2) недоступны измерению, то реализация управления по состоянию осуществляется с помощью наблюдателей. Для этой цели используется либо наблюдатель полного порядка (наблюдатель Калмана), либо наблюдатель пониженного порядка (наблюдатель Луенбергера).

Наблюдатель Калмана (см. § 3.7) формирует вектор оценок , которым заменяется в управлении u (7.4) вектор х . В результате образуется замкнутая система с управлением по состоянию, состоящая из заданного объекта (7.1), (7.2), наблюдателя (3.30) и формирователя управления . Оказывается, передаточную функцию этой системы по задающему воздействию можно всегда представить в виде

.                                       (7.19)

Здесь  – характеристический полином наблюдателя.

Из выражения (7.19) следует, что и в случае применения наблюдателя приведённое выше утверждение остается справедливым, т.е. числитель передаточной функции по задающему воздействию системы с устройством управления, в котором используется наблюдатель, и реализуется управление (7.4), также совпадает с числителем передаточной функции по управлению исходного объекта.

Таким образом, если система (7.5) синтезирована на основе управления по состоянию (7.4), то нули её передаточной функции по задающему воздействию (7.17) или (7.19) не зависят от параметров управления по состоянию, т.е. они инвариантны к управлению по состоянию (7.4). Так как модальное управление является частным случаем управления по состоянию, то системы с модальным управлением также обладают указанным свойством инвариантности.

С другой стороны, на основе выражения (7.19) можно заключить, что динамика наблюдателя не влияет на характер переходной функции по задающему воздействию замкнутой системы. Она полностью определяется нулями передаточной функции по управлению объекта и полюсами, назначенными при расчете модального управления.

Это заключение составляет содержание так называемой теоремы разделения, которая справедлива в линейном случае.

Пример 7.2. Предположим, объект управления задан уравнениями

, ,           (7.20)

причём имеется возможность выбирать значения параметров k и T. Найти модальное управление так, чтобы замкнутая система имела второй порядок астатизма, время регулирования не более 3,5 секунд, а перерегулирование не более 10 %. При этом измеряются только y и отклонение .

Решение. Форма заданных уравнений не соответствует канонической управляемой. Поэтому в соответствии с алгоритмом, изложенным в § 7.3, найдем матрицу управляемости и её определитель. Имеем

, .

Следовательно, задача имеет решение. Далее находим ,  и матрицы

, , .

Для выбора желаемых значений коэффициентов  полинома  (7.11) воспользуемся методом стандартных передаточных функций (см. § 6.4). По заданным значениям ,  и % из табл. 6.1 находим значения коэффициентов , , , , а также время с. По формуле (6.14), полагая , получим . Таким образом, в соответствии с выражением (6.13), желаемая передаточная функция замкнутой системы

.                                        (7.21)

Следовательно, , , , . Так как преобразование  приводит уравнения объекта к канонической управляемой форме, то коэффициенты произведения , согласно (7.15) являются коэффициентами передаточной функции объекта по управлению. Поэтому, учитывая свойство инвариантности нулей систем с модальным управлением из (7.21), выводим равенства, определяющие варьируемые параметры объекта: , ; отсюда с.

Далее в соответствии с пунктом 6 применяемого алгоритма, находим коэффициенты вспомогательного вектора: , , , а переходя к исходным переменным, получим искомое модальное управление .

Так как по условию задачи переменные состояния недоступны измерению, то необходимо, как отмечалось выше, синтезировать наблюдатель. Следуя методике, изложенной в § 3.8, найдем для объекта (7.20) матрицы:

, .

Полюсы наблюдателя примем равными: , , , что приводит к желаемому полиному наблюдателя , векторам  и . Подставляя заданные и найденные (с округлением) векторы и матрицу в равенство (3.30), получим уравнение наблюдателя

.       (7.22)

Наконец, заменяя в полученном выражении для управления u переменные состояния  их оценками  и полагая , будем иметь

.                                               (7.23)

Итак, синтезированное УУ описывается уравнениями (7.22) и (7.23), а замкнутая система – совокупностью уравнений (7.20), (7.22) и (7.23). Входными величинами УУ являются ε и y. Переходная функция синтезированной системы и её реакция на линейное воздействие  приведены на рис. 7.3. Они получены в среде MATLAB. Как видно, синтезированная система имеет требуемые показатели качества. ■

Синтез инвариантных систем управления

Инвариантные системы управления (см. § 5.6) обладают высокими показателями качества как в переходном, так и в установившемся режиме. Поэтому на практике чаще всего стремятся применять системы управления именно этого типа.

Рассмотрим здесь методику синтеза инвариантных систем на основе управления по выходу и воздействиям (см. главу 8). Объект управления может быть задан как уравнениями в переменных состояния, так и уравнением вход-выход

,                                        (7.24)

где m – общее число возмущений, приложенных к объекту управления. Остальные обозначения те же, что и выше.

В общем случае, уравнение устройства управления, реализующего управление по выходу и по воздействиям, в операторной форме имеет следующий вид:

.                   (7.25)

Здесь R(p), Q(p), N(p), L(p) и P_i(p) – некоторые полиномы, а индекс i принимает значения, соответствующие лишь тем приложенным к объекту управления (7.24) возмущениям , которые доступны измерению с помощью датчиков.

Задача синтеза инвариантной САУ при заданном объекте управления сводится к определению степеней и коэффициентов всех полиномов из уравнения (7.25). При этом, помимо требований к качеству системы, должны быть выполнены следующие условия физической реализуемости устройства управления (7.25):

, ,

, .                       (7.26)

Методика синтеза инвариантных САУ включает следующие этапы:

1. Составляется уравнение замкнутой системы (7.24), (7.25) относительно сигнала ошибки (см. § 5.1) с учетом влияния всех воздействий.

2. Проверяется возможность удовлетворения условий абсолютной инвариантности (см. § 5.6). Обычно эти условия могут быть удовлетворены выбором параметров устройства управления (7.25) относительно лишь некоторых воздействий.

3. По отношению к остальным воздействиям ищется возможность удовлетворения условиям селективной инвариантности и выбирается соответствующий вид полиномов из уравнения (7.25).

4. Выбираются порядок системы и значения параметров устройства управления (7.25), при которых обеспечивается устойчивость системы, и выполняются условия (7.26).

5. Определяются значения параметров устройства управления (7.25), при которых обеспечивается выполнение условий абсолютной и селективной инвариантности по тем воздействиям, по которым она достигается с учетом условий (7.26).

Отметим, в частности, что в тех случаях, когда объект управления является минимально-фазовым и число его нулей передачи по управлению равно порядку объекта, т.е. когда полином B(p) в уравнении объекта (7.24) удовлетворяет условиям

, , ,                                 (7.27)

где  – корни полинома B(p), управление по выходу и по воздействиям (7.25) позволяет по указанной методике синтезировать устройство управления (УУ), обеспечивающее абсолютную инвариантность системы к задающему воздействию и неизмеряемым возмущениям.

Рассмотрим примеры синтеза инвариантных систем.

Пример 7.3. Для объекта управления, который описывается уравнениями

, ,                              (7.28)

синтезировать абсолютно инвариантную систему к задающему воздействию g и неизмеряемому возмущению f. Физически реализуемое УУ (7.25) может иметь передаточные функции с одинаковыми степенями полиномов числителя и знаменателя.

Решение. Переходя к решению задачи, прежде всего, найдем полиномы из уравнения

(7.24) данного объекта: , , . Условия (7.27), очевидно выполняются, т.е. задача синтеза имеет решение.

В соответствии с изложенной методикой запишем уравнение вход-выход замкнутой системы (7.28), (7.25), относительно отклонения :

,                        (7.29)

где обозначено

,                      (7.30)

,                     (7.31)

.                 (7.32)

Из уравнения (7.29) и выражения (7.31) непосредственно следует, что условия абсолютной инвариантности рассматриваемой системы по отношению к возмущению f и к задающему воздействию g выполняются, например, при  и . При этих условиях характеристический полином (7.30) замкнутой системы равен сумме двух полиномов: полинома , все коэффициенты которого теоретически равны нулю, и полинома . Поэтому для того, чтобы система была устойчивой, а УУ реализуемым, примем , а . При этом, поскольку объект удовлетворяет условию (7.27), в характеристическом полиноме системы не будут появляться нулевые коэффициенты, так как .                               

Подставляя выбранные полиномы R(p) и Q(p) в уравнение (7.25) с учётом условий  и , найдём . Соответствующие уравнения УУ в переменных состояния имеют вид

, ,                              (7.33)

а его структурная схема приведена на рис. 7.4.

Полученное УУ (7.33) имеет характеристический полином равный нулю, и поэтому иногда называется «вырожденным» или «сингулярным». Кроме того, оно содержит усилитель с K_y = 1 (рис. 7.4), охваченный положительной единичной обратной связью. Этот усилитель, как и всё УУ, является неустойчивым в разомкнутом состоянии. В замкнутой системе УУ охватывается отрицательными обратными связями (через объект управления), что и обеспечивает устойчивость и робастность абсолютно инвариантной системы управления.

Для исследования полученной системы объединим уравнения (7.33) и (7.28). В результате получим систему уравнений

,                                 (7.34)

, , .                               (7.35)

Нетрудно проверить, что эти уравнения замкнутой системы удовлетворяют всем приведённым выше условиям абсолютной инвариантности. Например, вычисляя величины , , , , а также , , , , где A, b, h и c – соответствующие матрица и векторы из уравнений (7.34), (7.35), найдём, что все эти величины равны нулю.

Если промоделировать систему уравнений (7.34), (7.35) при задающем воздействии g(t) = 1(t), векторе начальных условий х₀ = [1 0,5 2 1,5] и возмущении f(t) = 3 sin 5t, которое

возникает при t = 3 и исчезает при t = 7 c, то переменные системы будут изменяться, как показано на рис. 7.5,б – рис. 7.7. На рис. 7.5,а приведён график изменения возмущения f(t), а на рис. 7.5,б – управляемой переменной y(t).

Как видно из этих графиков, переходные процессы по управляемой переменной y(t) вызываются только ненулевыми начальными условиями. Возникновение или исчезновение возмущения f(t) на поведении управляемой переменной y(t) совершенно не сказывается. Это и свидетельствует об абсолютной инвариантности синтезированной системы к этому возмущению.

Аналогично, на рис. 7.6,а приведены графики изменения переменных состояния объекта (7.28), а на рис. 7.6,б – УУ. Они свидетельствуют, что переменные х₁(t) и х₂(t) объекта изменяются в зависимости от возмущения f(t), а переменные  и  УУ не зависят от этого возмущения. Таким образом, условия абсолютной инвариантности приводят к тому, что управляемая переменная системы зависит от переменных состояния УУ и задающего воздействия и не зависит от переменных состояния объекта управления и возмущений.

Из приведённых графиков следует, что в абсолютно инвариантных системах происходит как бы «отключение» на сигнальном уровне управляемой переменной и ошибки системы от состояния объекта, к которому приложено возмущение, и «подключение» их к состоянию УУ, на которое возмущение не действует. Это «отключение» осуществляется путём формирования такого сигнала управления u(t), при котором осуществляется полная компенсация влияния воздействий на ошибку системы. Это хорошо видно из графиков изменения управления u(t) и возмущения f(t), приведенных на рис. 7.7 и на рис. 7.5,а.

На УУ (7.33) возмущение f(t) непосредственно не действует. Поэтому, сравнивая рис. 7.5,а и рис. 7.7, можно заключить, что вырожденное УУ абсолютно инвариантной к неизмеряемому возмущению системы является «генератором» сигнала, подобного действующему возмущению.

Условиям (7.27) удовлетворяют лишь небольшое число объектов управления. Большинство из них этим условиям не удовлетворяют. Поэтому абсолютная инвариантность чаще всего обеспечивается лишь по отношению к измеряемым возмущениям, т.е. в соответствии с принципом двухканальности Б.Н. Петрова. По отношению к неизмеряемым возмущениям чаще всего обеспечивается селективная инвариантность.

Пример 7.4. Найти параметры устройства управления (7.25), обеспечивающего инвариантность следящей системы к задающему  и двум возмущающим воздействиям  и , а также время регулирования 2 с. При этом известно, что выход  и воздействия  и  доступны измерению, а  недоступно измерению, но является гармоническим воздействием с частотой рад/с.

Уравнение объекта управления в операторной форме 

.                           (7.36)

Решение. В данном случае доступны измерению ,  и , поэтому, полагая в (7.25) для простоты полином N(p) = 0, найдем, что уравнение (7.25) УУ имеет вид

.                                (7.37)

Далее, поскольку система следящая, то сигнал ошибки , поэтому запишем уравнение системы (7.36), (7.37) относительно отклонения . С этой целью умножим обе части равенства  на полином  и учтём уравнение объекта (7.36). В результате будем иметь

. (7.38)

Найдем u из уравнения (7.37) с учётом замены

и подставим  в (7.38). В результате будем иметь

.

Умножим обе части этого равенства на полином  и приведём подобные члены:

,     (7.39)      

где . Итак, равенство (7.39) – это искомое уравнение проектируемой системы, записанное относительно отклонения ε.

Изучая, в соответствии с пунктом 2 приведённого выше алгоритма синтеза, возможность достижения абсолютной инвариантности в рассматриваемой системе, отмечаем, что абсолютная инвариантность по отношению к  недостижима (так как нельзя взять полином R(p)равным нулю, а других возможностей для указанной цели нет). Абсолютная инвариантность к измеряемому возмущению f₁ достижима (так как есть возможность выбора полинома P₁(p)), а по отношению к задающему воздействию g – недостижима, так как заданный объект условию (7.27) не удовлетворяет.

С другой стороны, селективная инвариантность может быть достигнута по отношению

ко всем воздействиям, если известны их -изображения и, кроме того, если возмущения и задающее воздействие не имеют одинаковых спектральных составляющих.

В связи с этим будем искать устройство управления, исходя из следующих требований к качеству синтезируемой в данном примере системы управления:

· селективная инвариантность к воздействию f₂ ;

· абсолютная инвариантность к воздействию f₁;

· астатизм первого порядка по отношению к задающему воздействию g , так как информации о его спектре нет;

· устойчивость;

· время регулирования с, перерегулирование не более 5% .

Перейдем к определению детальной структуры и параметров устройства управления, обеспечивающего указанные требования. -изображение воздействия f₂ представляет собой полином . Так как в уравнении (7.39) воздействие f₂ умножается на полином , то в соответствии с условием селективной инвариантности (5.51) примем

.                                                      (7.40)

Здесь  – некоторый полином меньшей степени, чем степень полинома R(p).

Условие (5.50) абсолютной инвариантности проектируемой системы к воздействию f₁ в соответствии с уравнением (7.39) имеет вид . Отсюда следует, что корень  множителя  должен быть корнем полинома . Следовательно, с учётом равенства (7.40) последний должен иметь вид

,                                     (7.41)

где – некоторый новый полином. Тогда условие абсолютной инвариантности системы к воздействию f₁ принимает вид

,

откуда полином

.                                        (7.42)

В рассматриваемом случае полином A(p) = p(2p+1), т.е. объект управления содержит “чистый” интегратор, поэтому в соответствии с уравнением (7.39) для обеспечения первого порядка астатизма к задающему воздействию g достаточно выбрать , где  – произвольный полином.

Перейдём к обеспечению устойчивости системы. Согласно (7.39), характеристический полином системы с учетом полученного выражения (7.41) для  имеет вид

                          (7.43)

или

,                                              (7.44)

где  – некоторый полином.

Прежде всего, отметим, что выбор полинома R(p) по условию абсолютной инвариантности к воздействию f₁ привел к тому, что полином (p + 10), являющийся нормированным полиномом B(p)при управлении u в уравнении объекта (7.36), оказался множителем характеристического полинома (7.44) синтезируемой системы.

Замечание. Если объект (7.24) является неминимально-фазовым (в этом случае полином B(p) будет иметь «правые» нули), то абсолютную инвариантность к возмущению f_i невозможно обеспечить даже при наличии двух каналов измерения.

Возвращаясь к обеспечению устойчивости системы, будем считать, что характеристический полином системы  удовлетворяет условию (7.44). Подставив правую часть (7.44) в равенство (7.43), сократим общий множитель (p + 10) в обеих частях этого равенства. В результате получим полиномиальное уравнение

,                              (7.45)

решение которого определяет искомые полиномы  и .

Чтобы задать полином , необходимо, прежде всего, выбрать его степень. Она определяется из условия разрешимости полиномиального уравнения (7.45) следующим образом. Если перемножить полиномы в левой части этого уравнения и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой его части друг к другу, то получится система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов неизвестных полиномов  и . При этом число уравнений в этой системе будет равно числу коэффициентов полинома , т.е.

,                                             (7.46)

а число неизвестных – суммарному числу коэффициентов полиномов  и , т.е.

.                                      (7.47)

Для разрешимости указанной системы, прежде всего, необходимо, чтобы число уравнений было не больше числа неизвестных. Из условия  можно выбрать степени полиномов ,  и  так, чтобы указанная система уравнений имела решение. Однако для обеспечения физической реализуемости устройства управления (7.25) необходимо одновременно выполнить условия (7.26).

Если , то, согласно (7.41), . Примем, что , тогда по (7.45) . Подставив эти выражения в (7.46), (7.47) и в неравенство , получим . Отсюда находим минимальное значение r = 3. При этом степени полиномов: , , . Таким образом, в соответствии с найденными значениями степеней можно записать общие выражения для искомых полиномов  и :

, .

Составленная указанным выше способом система, соответствующая уравнению (7.45) при

,

имеет следующий вид:

.                              (7.48)

Здесь в первых четырех (l + 1) столбцах матрицы системы стоит 0,1 – коэффициент, на который в уравнении (7.45) умножается полином . В последнем столбце этой матрицы в порядке возрастания степени p стоят коэффициенты полинома, на который умножается в (7.45) полином , степень которого в данном случае равна нулю. В соответствии с этим, столбец неизвестных включает коэффициенты , , ,  и  искомых полиномов  и .

В левой части системы алгебраических уравнений (7.48) в том же порядке стоят – коэффициенты желаемого характеристического полинома , которые определяются по условиям устойчивости и желаемого характера переходных процессов синтезируемой системы. Для определения коэффициентов этого полинома воспользуемся методом нормированных передаточных функций (см. § 6.4). В нашем случае степень знаменателя  нормированной передаточной функции (6.13) равна степени  полинома , т.е. , порядок астатизма , а перерегулирование полагаем 5 %. По этим данным из табл. 6.1 выберем коэффициенты: , , , ,  и значение . Так как заданное значение времени регулирования с, то по (6.14) . Подставляя полученные значения в формулу (6.13), найдем

.

Знаменатель этой дроби равен полиному . Подставив значения его коэффициентов в систему (7.48) и решив её, найдем, что при выбранном  коэффициенты: ; ; , , , т.е. , , а по (7.41) и (7.42) полиномы , .

Из уравнений (7.36) и (7.37) можно вывести, что числитель передаточной функции замкнутой системы  равен произведению . Поэтому из условия  с учетом сокращённого двучлена  имеем уравнение . Отсюда .

Таким образом, согласно (7.37), искомое УУ описывается уравнением

.                                     (7.49)

Записав с помощью уравнений (7.36) и (7.49) уравнение (7.39), можно убедиться, что синтезированная система удовлетворяет всем указанным выше требованиям. ■

Реализация устройства управления селективно инвариантных систем. Для реализации синтезированного УУ от уравнения (7.49) переходят к его уравнениям в переменных состояния, по которым либо составляется схема УУ на операционных усилителях, либо разрабатывается программа для микропроцессора, который будет вычислять дискретные значения управления u по измеренным значениям величин y, g и f₁.

Рассмотрим некоторые особенности реализации УУ для систем с селективной инвариантностью. В соответствии с условиями селективной инвариантности (5.55) или (5.56) для того, чтобы система обладала этим свойством по отношению к некоторому воздействию необходимо, чтобы её передаточная функция по ошибке, вызванной данным воздействием, содержала в качестве множителя полином, равный -изображению данного воздействия. Причём факт наличия данного полинома в качестве множителя не должен зависеть от параметров системы (по крайней мере, от большинства параметров). Для этого необходимо, чтобы система управления была реализована в соответствии с принципом внутренней модели, который состоит в следующем.

Принцип внутренней модели. Система обладает селективной инвариантностью к некоторому воздействию, если она явно содержит спектральную модель данного воздействия, т.е. структуру, способную генерировать сигнал, совпадающий по форме с данным воздействием.

Этот принцип, в частности, подтверждается тем, что, например, для достижения астатизма второго порядка к некоторому задающему воздействию необходимо наличие в прямой цепи системы двух чистых интеграторов (см. § 5.5). С другой стороны, последовательное соединение двух чистых интеграторов является спектральной моделью линейного воздействия, так как при не нулевых начальных условиях на выходе второго интегратора формируется линейный сигнал.

Функционирование селективно инвариантной системы, в которой реализована спектральная модель некоторого воздействия, протекает следующим образом. При отсутствии соответствующего внешнего воздействия спектральная модель не активна и не генерирует незатухающих сигналов, поскольку система устойчива. Однако, как только данное внешнее воздействие начинает влиять на систему, его спектральная модель начинает генерировать сигнал, совпадающий по форме с этим воздействием. В течение переходного процесса на интеграторах модели устанавливаются такие начальные значения, при которых она генерирует сигнал, полностью компенсирующий влияние воздействия на управляемую переменную системы в установившемся режиме. Когда влияние воздействия прекращается, в системе снова возникает переходный процесс, в течение которого внутренняя спектральная модель снова становится не активной.

При реализации УУ селективно инвариантной системы для формирования спектральных моделей необходимо уравнения УУ представлять в виде нескольких подсистем уравнений в переменных состояния. Каждое из -изображение воздействий, приложенных к системе, должно стать характеристическим полиномом отдельной подсистемы УУ. Эти подсистемы и будут спектральными моделями внешних воздействий, приложенных к проектируемой системе.

Покажем соответствующую методику на примере устройства управления, описываемого уравнением (7.49). С этой целью, полагая для упрощения схемы , представим это уравнение следующим образом:

.

Отсюда следует равенство

.    (7.50)

Поскольку полином  является -изображением, представим отношения полиномов в (7.50) в виде суммы дробей:

,                        (7.51)

.                       (7.52)

Заметим, что коэффициенты числителей дробей в левой части (7.51) и (7.52) определяются решением системы уравнений

при  и  соответственно.

Равенства (7.51) и (7.52) позволяют уравнение (7.50) заменить эквивалентной системой уравнений:

,                                              (7.53)

,                 (7.54)

.                        (7.55)

По выражениям (7.53) – (7.55) записываются соответствующие уравнения устройства управления в переменных состояния.

 В данном случае оно состоит из двух блоков, для формирования сигналов  и . Так как оба блока имеют по одному выходу и по несколько входов, то для записи уравнений в переменных состояния целесообразно использовать соотношения для перехода от уравнений «вход-выход» к уравнениям в переменных состояния, соответствующие канонической наблюдаемой форме (см. § 3.8). Обозначив через  и  переменные состояния этих блоков, получим

,

,

, , .

Этим уравнениям соответствует структурная схема синтезированного устройства управления, приведённая на рис. 7.8.

Элементы схемы на рис. 7.8, которые описываются уравнениями с вектором состояния , являются спектральной моделью внешнего гармонического воздействия с частотой . Нетрудно убедиться, что передаточная функция  синтезированной системы имеет в качестве множителя полином , который не исчезает при малых вариациях всех коэффициентов системы, кроме коэффициента обратной связи равного 4 (рис. 7.8).

В заключение этого параграфа отметим, что в общем случае условия разрешимости задачи синтеза инвариантных систем управления определяются как свойствами объекта управления, так и свойствами воздействий приложенных к нему.