Расходом называется объем жидкости, проходящий через заданное сечение в единицу времени.

Саратовский государственный технический университет

А.М. Калякин, В.К. Шашмин

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Учебное пособие
для студентов всех специальностей

Саратов 2008

УДК 532.5 (075)

ББК 30.123

К 17

Рецензенты:
Кафедра «Вычислительный эксперимент в аэрогидромеханике»
Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Доктор технических наук, профессор, зам. директора по науке
Института проблем точной механики и управления РАН
В.М. Панкратов

Калякин А.М.

К 17 Гидравлические задачи. Методы решения: учеб. пособие / А.М. Калякин, В.К. Шашмин. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. 96 с.

ISBN 978-5-7433-1985-5

Учебное пособие представляет задачник по гидравлике на темы: «Физические свойства жидкостей», «Кинематика», «Гидростатика», оно предназначено для студентов всех специальностей , всех форм обучения. В начале каждой темы кратко изложены основы теории.

В «Общем разделе» приведено большое число задач, к которым даны только краткие указания; они могут быть использованы как домашние задания. В разделе «Физические основы гидравлики» собраны задачи в равной мере относящиеся как к физике, так и к гидравлике.

Пособие может быть использовано при проведении практических и семинарских занятий, а так же при самостоятельном изучении курса «Гидравлика».

УДК 532.5 (075)

ББК 30.123

ã Саратовский государственный

технический университет, 2008

ISBN 978-5-7433-1985-5                                       ã Калякин А.М., Шашмин В.К., 2008

Введение

Учебное пособие является сборником задач по гидравлике и руководством для ознакомления с различными методами их решения. Оно может быть рекомендовано для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения в качестве пособия на практических занятиях, а также может служить задачником с подробными решениями при самостоятельном изучении предмета и для закрепления теоретического материала.

Часто трудности студентов заключаются в том, что они могут проследить за тем, как кто-нибудь другой решает задачу, но не способны решить ее сами. Активное усвоение предмета предполагает способность пользоваться материалом в незнакомой ситуации и умение решать подобные задачи, приведенные с решениями.

Для инженера важно, прежде всего, понять физический смысл задачи и ее решения, поэтому при изложении решения особое внимание уделялось анализу физического смысла; где это возможно, выполнено сравнение различных методов решения с целью расширить кругозор студента.

В начале каждой темы, а их три – «Физические свойства жидкостей и газов», «Кинематика» и «Гидростатика» – даны основные определения и зависимости. Задачи по каждой теме приведены в порядке возрастания их сложности; как правило, ко всем этим задачам даны решения. В общий раздел включены задачи, аналогичные задачам для каждой темы; они по темам не делятся и, как правило, подробных решений не имеют. Таким образом, при решении задач из общего раздела студенту самому придется ориентироваться в выборе темы и метода решения. Этот раздел будет полезен для самостоятельной работы студентов и для домашней работы по заданию преподавателей.

В специальном разделе «Физические основы гидростатики» собраны задачи, относящиеся больше к физике, чем к гидравлике. Авторы считают, что эти задачи, обычно не входящие в задачники по гидравлике, будут интересны студентам и разовьют у них представления о физике явления и сообразительность. Как правило, эти задачи можно считать задачами повышенной сложности. У задач, взятых авторами из других задачников, изменены числа в условиях, а также в ответах сделаны ссылки на источник, откуда эти задачи заимствованы. Приведены также оригинальные задачи, созданные в процессе преподавательской работы авторов. Задачи, относящиеся к машиностроительной гидравлике, не рассматриваются – для ознакомления с ними можно рекомендовать, например [6, 21]. Некоторые весьма удачные задачи взяты из журнала «Квант» (К).

В качестве основной системы единиц используется система СИ (в отдельных случаях система CGS).

Если характеристики жидкости или газа, необходимые для решения задачи, не указаны в ее условии, то их значения необходимо брать из приложения в конце задачника.

Для ознакомления с минимумом теоретического материала, необходимого для решения задач, в конце списка литературы выделен раздел «Дополнительная литература».

Авторы благодарят студентку В.С. Нелипович за помощь по набору, проверке и отладке всего материала пособия.

В заключение заметим, что неважно, сколько задач удастся решить – хорошо, если студент задумается над ними.

1. Физические свойства жидкостей и газов

Давлением р называется сила, действующая на единицу площади и направленная к ней по нормали

                                                  .                                          (1.1)

Давление измеряется по отношению к абсолютной нулевой величине – абсолютное давление, или относительно атмосферного давления в месте измерения – избыточное давление. Следовательно, р_изб = р_абс – р_ат.

Единицей давления в системе СИ является Паскаль (Па) = Н/м². Другие единицы измерения давления:

Техническая атмосфера (ат) 1 кг/см²=736 мм рт. ст.=10 м вод. ст.

Физическая атмосфера (атм) – давление, создаваемое столбом ртути высотой 760 мм рт. ст.

Плотностью r называется отношение массы m однородной жидкости к объему W, который она занимает

                                                  ,                                          (1.2)

где m – масса жидкости в объеме W.

В системе СИ плотность жидкостей и газов измеряется в кг/м³. Плотность дистиллированной воды при давлении 1 ат и температуре 4°С равна 1000 кг/м³, плотность морской воды при тех же условиях равна 1030 кг/м³, плотность воздуха при давлении 760 мм рт. столба и t=15°С r=1,2 кг/м³.

Пример 1.1.Уровень смазочного масла в вертикальном баке диаметром d=0,8 м понизился на ∆h=1,2 м. Определить массу израсходованного масла, если его плотность при температуре окружающей среды равна r=0,9 г/м³.

Решение.Объем ∆W израсходованного масла

∆W = S∙∆h = м³.

Определяем плотность в системе СИ: r_масла = 900 кг/м³.

Используя (1.2), определяем массу масла m = r×DW = 0,603∙900=542,6 кг.

Сжимаемостью называется свойство жидкости (газа) изменять свой объем при изменении давления; количественной характеристикой этого свойства является коэффициент изотермического (при постоянной температуре) объемного сжатия

                                              ,                                      (1.3)

где W – начальный объем; ∆W – изменение объема при изменении давления на ∆р. В системе СИ b_р измеряется в 1/Па. Величину, обратную b_р, называют объемным модулем упругости

                                           (Па).                                  (1.4)

Капельные жидкости малосжимаемы и их модули упругости велики; для воды, керосина и ртути соответственно E = 2∙10⁹; 1,3∙10⁹; 3,3∙10⁹ Па.

Температурное расширениежидкости проявляется при изменении ее температуры – при этом ее объем изменяется и это изменение объема оценивается коэффициентом температурного расширения

                                         ,                                  (1.5)

где W – начальный объем; ∆W – изменение объема при изменении температуры на ∆t.

Пример 1.2.В отопительной системе дома содержится W=0,8 . Какой объем воды дополнительно войдет в расширительный бак при нагревании ее от 20 до 85°С? Коэффициент температурного расширения принять равным b_t = 0,00042°C^–1.

Решение. Изменение объема W при изменении температуры на ∆t = 85–20°= 65° определится по формуле (1.5) ∆W = b_t×W∙∆t = 0,021 м³.

Вязкостью называется свойство жидкости (газа) оказывать сопротивление относительному движению (сдвигу) частиц. Касательное напряжение t в слоистом (ламинарном) потоке вязкой жидкости подчиняется закону вязкого трения Ньютона

                                                ,                                         (1.6)

где du/dl – градиент скорости в направлении, перпендикулярном скорости потока; m – динамический коэффициент вязкости.

Вязкость жидкости характеризуется коэффициентами кинематической вязкости n (м²/с) и динамической вязкости m (Н×с/м²), которые связаны так

                                                 m = r×n .                                         (1.7)

Часто удобно выражать коэффициент nв физической системе единиц; например, для воды при 20°С и нормальном давлении n = 0,01 см²/с = 0,01 стокса = 1×10^–6 м²/с. Для глицерина n = 8,48 см²/с, для минерального масла n = 2,30 см²/с, для воздуха n = 0,157 см²/с.

Уравнение состояния жидкости. В широком диапазоне давлений большинство жидкостей почти несжимаемы и их состояния могут быть достаточно точно определены при помощи одной лишь температуры. Часто принимают еще более простой закон ρ = const.

Газы. Уравнение состояния выражается зависимостью

                                                 ,                                         (1.8)

где р – абсолютное давление; r – плотность; T – абсолютная температура; R – удельная газовая постоянная, разная для различных газов, но не зависящая от температуры и давления (для воздуха R=287,3 Дж/(кг×К)). При отсутствии теплообмена (адиабатический процесс) справедливо следующее уравнение

                                              ,                                       (1.9)

где k – показатель адиабаты (для воздуха k = 1,4).

Поверхностная энергия и поверхностное натяжение.На поверхности раздела между газом и жидкостью или между несмешивающимися жидкостями за счет взаимного притяжения молекул возникают силы, которые заставляют поверхность вести себя подобно натянутой мембране (перепонке). Вблизи поверхности жидкости на молекулы действует нескомпенсированная результирующая сила, рис. 1.1, направленная внутрь от поверхности. Молекулы на поверхности будут обладать определенной энергией, называемой поверхностной энергией.

Поверхностным натяжением s называется отношение работы, требующейся для увеличения площади поверхности, к величине этого приращения площади, т.е.

                                   или .                         (1.10)

Значения коэффициента s для воды и ртути при t = 20°С соответственно равны

 .

Поверхность смачивающей жидкости, находящейся в узкой цилиндрической трубке, принимает вогнутую форму, рис. 1.2, а), а несмачивающей – выпуклую, рис. 1.2, б). Такого рода изогнутые поверхности жидкости носят название менисков.

Если открытую трубку погрузить одним концом в сосуд со смачивающей жидкостью, то внутри трубки мениск вогнутый и при круглом сечении трубки приближенно представляет собой часть сферы. Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное добавочное давление

                                                 ,                                        (1.11)

где r – радиус поверхности жидкости; s – коэффициент поверхностного натяжения.

Из последней формулы следует, что в пузырьке жидкости радиуса r(или в пузырьке газа внутри жидкости) давление больше, чем вне пузырька, на величину

                                                .

Высота подъема или опускания жидкости h в вертикальной стеклянной трубке диаметром d определяется по формуле

                                                .                                      (1.12)

Задачи

Задача 1.1. Масса керосина в бочке объемом 190 л равна 155 кг. Определить плотность керосина r в кг/м³, в г/см³.

Задача 1.2. Воздух сжат и его давление (избыточное) р_изб=0,6 ат, температура при этом t=300°C. Определить его плотность.

Задача 1.3. При гидравлических испытаниях водопровода его заполняют водой и повышают давление, чтобы убедиться в отсутствии утечек. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в водопровод диаметром d=250 мм и длиной l=750 м. Давление должно быть поднято на величину ∆р=10 ат (по манометру). Деформацию трубопровода не учитывать.

Задача 1.4. Давление в баллоне с кислородом для газовой сварки при хранении его на улице, где температура t₁= –20°С, равно p₁=70 ат. Каково будет давление в баллоне при внесении его в помещение с температурой t₂=25°С (начальное и конечное давления измеряются по
манометру)?

Задача 1.5. В отопительной системе дома содержится W=0,8 м³ воды. Найти объем W_P расширительного бака, в который войдет вода при пуске отопительной системы. Первоначальная температура воды в системе t₁=20°С, после пуска установившаяся температура на выходе из котла t₂=85°С. Коэффициент температурного расширения принять равным b_t=0,00042°С^–1.

Задача 1.6. Каков физический смысл модуля упругости и чему он равен для абсолютно твердого тела?

Задача 1.7.* В цилиндрическую емкость высотой h=2,5 м залили нефть при температуре t₁=5°С. Определить, до какого уровня можно налить нефть, если температуру окружающей среды повысить до t₂=30°С. Расширение емкости не учитывать; коэффициент температурного расширения для нефти принять равным .

Задача 1.8.* В котел отопления поступает объемный расход воды Q=0,6 л/с при температуре t₁=30°С. Определить объемный расход воды Q₂, выходящей из котла, если температура в нем повышается до t₂=90°С. Дополнительно определить, какой объем воды войдет в расширительный бак системы отопления при пуске котла, если до пуска системы отопления температура воды t=20°С, объем системы до пуска W=112 л.

Задача 1.9.* Автоклав с цилиндрической частью диаметром d=1 м и длиной l=2 м имеет дно и крышку в форме полусферы. Определить объем воды ∆W, который требуется дополнительно закачать в него для того, чтобы поднять давление р от 0 до 1000 атм. Увеличение объема сосуда не учитывать.

Задача 1.10.** Как изменяется плотность капельной жидкости r₁ при изменении ее температуры от t₁ до t₂ (t₂>t₁)?

Задача 1.11.** Автоклав объемом W=10 л наполнен водой и закрыт герметически. Определить повышение давления в нем ∆р при увеличении температуры воды на величину ∆t=50°C. Изменение объема автоклава не учитывать.

Задача 1.12.**Доказать, что

                                     и ,

где c – скорость звука в среде; k – модуль упругости. Знак (–) указывает на уменьшение объема W при увеличении давления.

Задача 1.13.** Найти объемные модули упругости для газов при изотермическом и адиабатическом процессах.

Задача 1.14. Определить, на какую высоту поднимется вода между двумя плоскими пластинами, расстояние между которыми d=0,5 мм. Смачивание пластин считать полным. Плотность воды r = 1000 кг/м³, коэффициент поверхностного натяжения считать равным s = 0,0727 Н/м.

Задача 1.15.Найти капиллярное давление в:

– капельках ртути диаметром d=1,5 мкм;

– капле воды диаметром d=2,0 мм.

Задача 1.16. Определить избыточное и полное давление внутри пузырька воздуха диаметром d=1×10^–2 мм, находящегося под самой поверхностью воды.

2. Кинематика

Основной теоремой кинематики является теорема Коши-Гельмгольца, согласно которой движение жидкой частицы можно представить в виде трех составляющих: поступательного движения вместе с полюсом, вращения вокруг полюса как твердого тела и деформационного движения. Характеристикой вращательного движения служит угловая скорость вращения частицы как твердого тела

                                              .

В проекциях на оси координат

     , , (2.1)

характеристиками деформационного движения являются скорости относительной линейной деформации (по соответственным осям)

                                                  (2.2)

и скорости относительной деформации сдвига (угловой деформации)

     . (2.3)

Ускорение частицы. Если скорость  задана вектором (x,y,z,t), то проекции вектора ускорения  имеют вид

В каждой точке установившегося потока несжимаемой жидкости выполняется уравнение неразрывности

                                       .                                (2.7)

Пример 2.1.Заданы компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 6ax + C₁,   u_y = –3ay + C₂,   u_z = –3az + C₃,

где а – постоянная величина, имеющая размерность 1/Т; C₁, C₂, C₃ – постоянные, имеющие размерность скорости. Найти выражение для компонента а_х вектора ускорения в декартовой системе координат.

Решение.Вначале необходимо проверить, существует ли установившийся поток несжимаемой жидкости с такими компонентами. Для этого выясним, обращается ли уравнение неразрывности (2.7) в ноль; найдем частные производные

При этих значениях (2.7) обращается в ноль и поэтому заданный поток существует. Общее выражение для компоненты а_х вектора ускорения следует из (2.4). Вычисляя частные производные в последнем выражении, находим

и тогда а_х = 6а(6ах + С₁).

Из общего закона сохранения массы следует, что масса жидкости или газа, проходящая через любое сечение потока за единицу времени, является постоянной величиной (если нет ответвлений и присоединений). Эта величина называется массовым расходом Q_m и выражается так: Q_m = rQ = rVS = const, где r – плотность жидкости; V – средняя скорость; S – площадь поперечного сечения; Q – объемный расход. Для потока несжимаемой жидкости r = const в каждом его сечении выполняется уравнение неразрывности

                                               Q = const ,                                       (2.8)

где Q [L³/T] – объемный расход, чаще называемый просто расходом.

Расходом называется объем жидкости, проходящий через заданное сечение в единицу времени.

Средняя скорость V потока жидкости в данном сечении определяется по формуле

                                                  .                                          (2.9)

Пример 2.2. Расход Q в круглой трубе диаметром d=50 мм равен 2,7 л/с. Определить среднюю скорость V.

Решение. По определению средней скорости V=Q/S получаем (учитывая, что 1 л = 1 дм³ = 1000 см³)

, где Q – расход; S – площадь сечения.

Уравнение неразрывности (2.8) может быть записано для любого числа сечений так:

                                      .                            (2.10)

Пример 2.3.Известно отношение диаметров узкой и широкой частей трубы: d₁ / d₂ = 1/3. Найти отношение средних скоростей V₁ / V₂, рис. 2.1.

Решение.Уравнения неразрывности (2.10) для двух сечений принимают вид V₁S₁ = V₂S₂; из последнего уравнения (по свойству пропорции) получаем: . В данном случае труба круглая и поэтому площадь сечения ее (площадь круга) равна . Отношение скоростей будет равно , но нам дано, что d₁ /d₂=1/3 или d₂ = 3d₁. Окончательно получаем .

Движение жидкости является вихревым, если ; если в каждой точке потока , то движение называется потенциальным – в этом случае существует скалярная функция (x,y,z,t), которая называется потенциалом скорости. Для функции (x,y,z,t) выполняются равенства

                                   .                          (2.11)

Для плоского движения

                             .                    (2.12)

Пример 2.4.Установить, вихревым или потенциальным является течение, определяемое вектором скорости с компонентами u_x = (x–y)·a, u_y = 2ya + C₂, u_z = –3za + xa, где а – множитель, имеющий размерность 1/t.

Решение.Для ответа на вопрос в условии задачи необходимо найти компоненты вектора . Если =0, то течение потенциальное (безвихревое), если ¹0, то течение вихревое. Найдем компоненты w_x, w_y и w_z по формулам (2.1)

Следовательно, данное течение является вихревым.

Подставляя u_x, u_y и u_z из (2.11) в (2.7), получим уравнение Лапласа

                                       .                             (2.13)

Компоненты скорости в случае двумерного течения в декартовой системе координат могут быть представлены в виде

где y – функция тока. На линии тока выполняется условие y(x,y)=const. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока y (x,y) к произвольным постоянным.

Пример 2.5. Исследовать течение, функция тока которого имеет вид y = 3(х²–у²).

Решение. Имеем u_x = –6y×a, u_y = –6х×a, течение установившееся, плоское w_x = w_y=0,

 ,

поэтому движение потенциальное. Определим потенциал скорости из выражения
dj = –6y dx –6x dy = 0, или ydx + xdy = 0. Это значит, что d(xy)=0. Интегрируя последнее равенство, получаем : xy = C.

у = С/х – уравнение эквипотенциалей. Из y = 3(х² – у²) = С получим – уравнение линий тока. Вектор скорости в потоке направлен по касательной к этой линии, рис. 2.2.

Задачи

Задача 2.1.Заданы компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 3ax, u_y = 4ay, u_z = –7az + 3a, где а – постоянная величина. Найти значение компонент вектора ускорения в точке (0,1,2).

Задача 2.2.Установить, могут ли существовать течения, задаваемые проекциями скоростей, и если могут, то при каких параметрах a, b, g.

а) u_x = a a x,   u_y = a b y,       u_z = –2 a g z ,

б) u = a a x,             u_y = –1/2 a b y, u_z = –2 a g z ,

в) u_x =2 a a x, u_y = –2 a b y,  u_z = 0.

Во всех этих зависимостях a, b, g – безразмерные числовые параметры; а – постоянная величина, позволяющая сохранить размерность скорости в правых частях; х, у и z – координаты.

Задача 2.3. В поток жидкости, имеющий площадь поперечного сечения S₁ и расход Q₁, вливается другой поток той же жидкости с расходом Q₂. Определить площадь сечения бокового притока S₂ и сечение потока после слияния S₀, считая скорости во всех сечениях одинаковыми.

Задача 2.4. Определить объемный расход жидкости, протекающей между плоскими пластинами, расстояние между которыми h = 0,1 м, рис. 2.4. Поле скоростей имеет вид и_х = 20уа (м/с), u_y = u_z = 0. Какова средняя скорость? Удовлетворяется ли уравнение неразрывности?

Задача 2.5.Определить среднюю скорость жидкости и число Рейнольдса в круглой трубе внутренним диаметром d=15 мм, если при определении расхода объемным способом объем W=2,7 л был набран за время t=18 c. Температура воды T=18°С.

Задача 2.6. Определить, вихревым или потенциальным будет поток жидкости в круглой трубе, скорость которой по течению распределена так:

a) u_x = const, u_y = 0, u_z = 0;     б) ,

где u_max – наибольшая скорость в центре трубы; r₀ – радиус трубы; r – расстояние от оси трубы до точки, в которой скорость равна и_х.

Задача 2.7.В плоском потоке несжимаемой жидкости заданы составляющие вектора скорости . Возможно ли существование такого потока? Определить для данного потока функцию тока и потенциал скорости.

Задача 2.8. По трубопроводу диаметром d = 156 мм перекачивают нефть, плотность которой r = 800 кг/м³. Средняя скорость потока в трубе равна V = 0,85 м/c. Определить массовый расход нефти.

Задача 2.9. В призматическом открытом канале прямоугольного сечения глубины по длине изменяются и в двух сечениях 1 и 2 равны соответственно h₁ и h₂, причем h₂ > h₁ и h₂ / h₁ = l,5. Определить среднюю скорость V₂ в сечении 2, если в сечении 1 она равна V₁ = 0,5 м/с.

Задача 2.10. Даны компоненты вектора скорости потока жидкости

u_x = 4bx + C₁,   u_y = –7by + C₂,  u_z = 3bz – C₃ ,

где b – постоянная величина размерности 1/t; С₁, С₂, С₃ – постоянные, имеющие размерность скорости. Найти компоненты вектора ускорения в декартовой системе координат.

Задача 2.11.Заданы компоненты вектора скорости потока жидкости u_x = bx, u_у = –3by, u_z = 2bz, где b – постоянная величина размерности 1/t. Найти величину вектора ускорения в точке (1,1,1).

Задача 2.12.При измерении расхода объемным способом за время t = 32 c был набран объем W = 3,5 л. Внутренний диаметр трубы, через которую поступала вода, равен d = 20 мм. Определить число Re в потоке. Кинематический коэффициент вязкости принять равным ν = 0,01 см³/с.

Задача 2.13.Определить число Рейнольдса в сечении 1, если в сечении 2 оно равно Re = 11200. Задано отношение диаметров d₂/d₁ = 3. Температура жидкости не изменяется при переходе от сечения 1 к сечению 2.

Задача 2.14.Представляют ли многочлены f=b(x³–3xy²) и y=b(3x²y–y³) соответственно потенциал скорости и функцию тока одного и того же течения? В данном случае b – постоянная, введенная для сохранения размерности.

Задача 2.15. Определить составляющие вектора угловой скорости частиц жидкости в потоке, для которого заданы компоненты вектора скорости u_x = axy, u_y = ayz, u_z = axz, где а – постоянная величина, позволяющая сохранить размерность скорости в правых частях.

Задача 2.16. Дан ламинарный поток в круглой трубе. Распределение скоростей по сечению трубы имеет вид

, где h_mp, ρ, g, L, µ – постоянные; r₀ – радиус трубы; r – расстояние от оси трубы до точки, в которой скорость равна u_х. Ось трубы направлена вдоль оси х. Определить расход и среднюю скорость, а также вихревым или потенциальным будет данный поток.

Задача 2.17. Распределение скорости по сечению плоского канала шириной L при ламинарном установившемся течении вязкой жидкости подчиняется параболическому закону.

 Является ли движение вихревым?

3. Гидростатика

3.1. Гидростатическое давление.Давление в неподвижной жидкости р называется гидростатическим и представляет собой напряжение сжатия в точке, расположенной внутри покоящейся жидкости,

                                              ,

где ∆F – сила, действующая на площадку ∆S, содержащую рассматриваемую точку.

Если давление р одинаково в любой точке площадки площадью S, то оно выражается зависимостью,

                                              ,                                       (3.1)

где F – сила, действующая на площадку.

Гидростатическое давление в данной точке всегда направлено перпендикулярно к площадке, на которую оно действует. В случае, когда из массовых сил действует лишь одна сила тяжести, гидростатическое давление р в точке, находящейся на глубине h, определяется по формуле

                                   ,                          (3.2)

где р₀ – давление на свободной поверхности жидкости; r – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения. Гидростатическое давление, определяемое по формуле (3.2), называется полным или абсолютным давлением. Давление р₀ может иметь разную природу: жидкость может контактировать с газовой средой (например, с атмосферой и в этом случае р₀ – атмосферное давление), с твёрдым телом (испытывать давление поршня) или с другой жидкостью (например, на слой ртути в резервуаре налит слой воды и на поверхность ртути действует некоторое давление р₀).

Пример 3.1. Определить избыточное и полное давление на дно резервуара, наполненного водой. Резервуар сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в резервуаре h = 1,3 м. Атмосферное давление принять равным р_ат = 98000 Па.

Решение.Избыточное давление определяется по формуле р_из = 1000×9,81×1,3 = 12753 Па. Полное давление равно р = р_ат + rgh = 98000 +12753 = 110753 Па.

Из (3.2) следует, что внешнее давление р₀, приложенное к свободной поверхности жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).

Если р₀ = р_ат, то зависимость (3.2) принимает вид:

                                            р = р_ат + rgh.                                     (3.3)

Рассмотрим простой и полезный в дальнейшем прием, часто применяемый при решении задач гидростатики; на рис. 3.1 изображена емкость с жидкостью, закрытая сверху. Под крышкой создано некоторое давление газа р_х, отличное от атмосферного, которое требуется определить. Плотность жидкости r, высота столба жидкости h₂ в трубке П с открытым концом, а также расстояние от поверхности жидкости в резервуаре до центра отверстия в стенке сосуда h₁ считается известным.

Вообразим в основании трубки П плоскую площадку Пл, состоящую из частиц жидкости; т.к. вся жидкость покоится, то и площадка Пл покоится. Это значит, что силы F₁ и F₂, действующие слева и справа на эту площадку, равны (жидкость – текучая среда, легко подвижная) и неравенство сил вызвало бы движение жидкости, что не соответствует начальному предположению о том, что вся жидкость покоится). Сила, действующая слева, равна F₁ = p₁S, а сила, действующая справа – F₂ = p₂S, где S – площадь площадки Пл; р₁ – давление на площадку слева; р₂ – давление на площадку справа. Из F₁ = F₂ следует, что р₁ = р₂.

Давление слева р₁ складывается из давления на свободной поверхности в сосуде р_х и давления, создаваемого столбом жидкости h₁, находящейся в сосуде

                                            р₁ = р_х + ρgh₁ .

Давление справа р₂ складывается из давления р_ат на свободной поверхности жидкости в трубке П и давления, создаваемого в основании столба жидкости в трубке П высотой h₂

                                           р₂ = р_ат + ρgh₂ .

Приравнивая р₁ и р₂, получаем окончательно уравнение

                                     р_х + ρgh₁ = р_ат + ρgh₂ ,                              (3.4)

из которого возможно определить р_х (если р_х известно, то можно найти h₂).

Из рис. 3.2 видно, что в зависимости от давления на свободной поверхности в закрытом сверху сосуде возможны три варианта расположения уровней жидкости в пьезометре:

а) если  p₀ > p_ат , h₁ > h ;  б),   h₁ = h ;
в) если,  то h₁ < h.

а)                                б)                                в)

Рис. 3.2

Если подставить в выражение для избыточного давления p_изб = ρgh плотность в кг/м³, ускорение свободного падения в м/с², а глубину h в метрах, то давление получим в паскалях (Па). Таким образом, если в зависимость для р_изб подставить величины, выраженные в системе СИ, то и ответ будет получен в такой же системе, т.е. в Па. Из формулы (3.3) следует, что абсолютное давление складывается из двух составляющих: внешнего давления р₀ и давления, определяемого величиной ρgh. Разность их называется избыточным давлением. Если на свободной поверхности давление равно атмосферному, то избыточное давление равно р_изб = ρgh₀. Избыточное давление также называется манометрическим; для измерения давления могут применяться различные приборы, например, дифференциальный жидкостный манометр. Точность измерения разности давлений этим манометром зависит от точности определения плотности r и разности ∆h. Избыточное давление также может быть измерено механическим манометром. Если механический манометр никуда не присоединен, его показание равно нулю, а присоединенный к объему жидкости или газа с давлением р_ат + ∆р, он покажет значение ∆р.

Отношение давления р к произведению rg имеет размерность длины и выражается обычно в метрах или сантиметрах H = p/rg. Таким образом, последнее равенство устанавливает связь между давлением р и некоторой длиной Н, которая называется напором.

Пример 3.2. В пьезометре, присоединенном в точке А на глубине h₁ = 0,6 м, вода поднялась на высоту h₂ = 1,7 м. Определить избыточное давление в точке А и давление р на свободной поверхности в сосуде, рис. 3.3.

Решение. Избыточное давление в точке А избыточно по отношению к атмосферному давлению, которое действует на поверхность воды в пьезометре. Поэтому избыточное давление создается не столбом жидкости h₁ в сосуде, а столбом жидкости высотой h₂ в пьезометре, поэтому

р_изб = р_м = ρgh₂ = 1000·9,81·1,7 = 16677 Па.

Для определения неизвестного давления р применим зависимость (3.4), которая в данном случае примет вид р + ρgh₁ = р_ат + + ρgh₂. Из последнего равенства следует

р = р_ат + ρgh₂ – ρgh₁ = р_ат + ρg(h₂ – h₁)= 98000 Па +1000·9,81·1,1=108791 Па .

Если абсолютное давление меньше атмосферного, т.е. р < р_ат, то разность между атмосферным и абсолютным давлением называется вакуумом

                                     р_вак = р_ат – р = ρgh_вак ,                              (3.5)

                                        .                               (3.6)

Величина h_вак называется вакуумметрической высотой, поэтому вакуум измеряется в долях атмосферы или высотой столба жидкости.

Пример 3.3.Давление газа р в закрытом герметическом резервуаре равно 0,8 ат. Определить высоты столбов воды и ртути, соответствующих величине вакуума в резервуаре.

Решение.Вакуумом называется давление, недостающее до атмосферного, поэтому вакуум в данном случае равен р_вак = р_ат – р = 1 ат – 0,8 ат = 0,2 ат = 98100·2/10 Па = = 19620 Па. Столб жидкости плотности r и высотой h создает в своем основании давление р = rgh, поэтому прямой ответ на вопрос в задаче можно получить, определив h из последнего уравнения . Для воды r_в = 1000 кг/м³, подставляя это значение в последнюю зависимость для h, получим =2,00 м. Для ртути r_рт = 13600 кг/м и соответственно h_рт = 0,147 м.

Иной способ решения этой задачи состоит в следующем: допустим, что к резервуару (рис. 3.4), в котором давление равно р = 0,8 ат, присоединен дифференциальный жидкостный манометр. Применяя формулу (3.4) к площадке на поверхности жидкости в правом колене манометра, получим rgh+0,8 ат = р_ат. Подставляя численные значения плотности воды и ртути в данные уравнения, имеем те же значения h, что и раньше.

3.2. Сила давления жидкости на плоские поверхности.Сила, действующая на плоскую площадку со стороны покоящейся жидкости, может быть определена с учетом давления на поверхности р₀ и без учета этого давления.

Сила избыточного давления F на плоскую стенку находится как произведение смоченной (т.е. контактирующей с жидкостью) площади стенки S и гидростатического давления в точке центра тяжести этой площадки р_ц.т., т.е.

                                              F = р_ц.т ·S ,                                       (3.7)

или

                                            F = rgh_ц.т.·S ,                                    (3.8)

где h_ц.т. – глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.

С учетом давления на поверхности р₀ сила, действующая на площадку, определяется так

                                        F = p₀S + rgh_ц.т S .                                (3.9)

Центр давления (точка приложения равнодействующих сил давления) для негоризонтальных стенок лежит ниже центра тяжести стенки. Его положение определяется зависимостью

                                          ,                                 (3.10)

где I_с – момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести этой площадки; ℓ_ц.т. и ℓ_d – соответственно расстояния центра тяжести стенки и центра давления от линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью.

Зависимости для определения центра тяжести и моментов инерции плоских фигур относительно оси, проходящей через центр тяжести, приведены в приложении 3.

Пример 3.4.Определить силу давления воды на прямоугольный затвор, перекрывающий отверстие донного водовыпуска (рис. 3.5). Ширина затвора b = 1,2 м, глубина погружения его верхней кромки а = 0,9 м и нижней h = 2,2 м. Угол наклона затвора a = 60°.

Решение. Определяем высоту затвора ℓ и его площадь S:

ℓ = (h – a) / sin a = (2,2 – 0,9) / 0,866 = 1,5 м. S = b×ℓ = 1,2×1,5 = 1,8 м². Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей (на середине его высоты), следовательно, h_цт = a + (l/2)×sin a или, подставляя числовые значения . Сила, действующая на затвор, может быть определена по формуле (3.8) F = ρgh_цт×S = = 1000×9,81×1,55×1,8 = 27369,9 Н.

Пример 3.5. Определить положение центра давления на плоский прямоугольный затвор, верхняя кромка которого совпадает со свободной поверхностью (рис. 3.6). Глубина воды перед затвором h = 3,4 м. Ширина затвора b = 1,8 м.

Решение. Площадь затвора, так как он представляет собой прямоугольник, равна:

S = b·ℓ = 1,8·3,4 = 6,12 м². В данном случае для вертикального щита

.

Момент инерции .

Применяя зависимость (3.10), получаем:

 м.

или ℓ_ц = 1,7+5,89/(1,7×6,12) = 2,26 м.

3.3. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности.Сила суммарного давления жидкости F на криволинейную поверхность может быть определена как геометрическая сумма её составляющих: горизонтальной F_г и вертикальной F_в, т.е.

                                             .                                   (3.11)

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию S_в этой стенки:

                                   F_г = rgh_ц.т · S_в = р_ц.т · S_в .                        (3.12)

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме тела давления

                                              F_в = r g W .                                    (3.13)

Телом давления называется объём жидкости, ограниченный данной криволинейной поверхностью, вертикальной плоскостью, проведённой через нижнюю образующую криволинейной поверхности, и свободной поверхностью жидкости. Если объём находится с несмачиваемой стороны стенки, вес тела давления нужно считать направленным вверх.

Направление силы суммарного давления F определяется углом β, образуемым вектором F_в и горизонтальной плоскостью

                                           tg (β) = F_в / F_г .                                  (3.14)