Ознаки рівності трикутників

Теорема 1 (перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами й кутом між ­ними).
Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 2 (друга ознака рівності трикутників — за стороною й прилеглими до неї ку­тами).
Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Теорема 3 (третя ознака рівності трикутників — за трьома сторонами).
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 

17. Два трикутники називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Ознаки подібності трикутників:

1. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

3. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

4. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і найбільший із протилежних їм кутів одного трикутника дорівнює відповідному куту другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Ознаки подібності прямокутних трикутників:

За гострим кутом. Якщо прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. У прямокутного трикутника один кут прямий, тому для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.

За двома пропорційними катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника пропорційні катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

За пропорційними катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

Паралелограм

Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
На рисунку ABCD — паралелограм. ; .

Властивості паралелограма

Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: , (дивись вищенаведений рисунок). У паралелограма протилежні кути рівні: , .
Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють :
; ;
; .
Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться нав­піл.
; .
Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники.
На рисунку нижче зліва . На рисунку справа .

Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

На рисунку ; .

19. Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника

Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші.
Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.
На рисунку . .
; — рівнобедрені.

20. Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші.
Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
На рисунку ABCD — ромб;
; ;
;
;
.

Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.
Теорема 3. Висоти ромба рівні:

21. Кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, утворений сторонами многокутника, що сходяться в цій ­вершині.
Теорема 2. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює .
Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.
Теорема 3. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює (див. рисунок).