В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.

Властивості бісектриси

Теорема 1. Бісектриса кута утворює з його сторонами кути, не більші за .
Теорема 2. Бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій (тобто є доповняльними півпрямими).
Теорема 3. Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут.
Теорема 4. Бісектриса розгорнутого кута утворює прямий кут з його стороною.

3. Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. Дана точка кола називається точкою дотику.

Із будь-якої точки поза колом можна провести до кола дві дотичні. Відрізки цих дотичних від даної точки до точок дотику рівні. Промінь, що виходить із даної точки й проходить крізь центр кола, є бісектрисою кута між дотичними.

Площа трикутника

Існують також інші формули для обчислення площі, наприклад

, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.
Оскільки , то .
Висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, на які вони опущені.
Зверніть увагу: більшій стороні трикутника відповідає менша висота, і навпаки.
, , де P — периметр трикутника, r — радіус вписаного кола.
, , де R — радіус описаного кола.
— формула Герона.
p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Площа рівностороннього трикутника

.

Властивості медіани трикутника

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (тобто такі, що мають однакову площу) трикутники.

.

Три медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників.
.

Площа паралелограма

Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.
Оскільки (див. рисунок), то .
Із двох різних висот паралелограма більша та, яка опущена на меншу сторону.



AC = d1; BD = d2;
; .
Трикутники AOB, BOC, COD, DOA мають рівну площу:

6. Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Теорема 1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.
На рисунку праворуч:
; .

У трикутнику можна провести три середні лінії. Вони утворюють трикутник з такими ж кутами, як даний, і вдвічі меншими сто­ронами.
На рисунку нижче ABC — трикутник; MN, NK, MK — його середні лінії.
Чотирикутники AMNK, BNKM, MNCK — паралелограми.

Теорема 2. Середня лінія трикутника ділить навпіл висоту, бісектрису, медіану трикутника, що проведені до паралельної їй сторони:

Спираючись на властивість середньої лінії, легко довести, що:
1) середини сторін чотирикутника є вер­шинами паралелограма (рисунок 1);
2) середини сторін прямокутника є вершинами ромба (рисунок 2);
3) середини сторін ромба є вершинами прямокутника (рисунок 3);

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3
4) середини сторін квадрата є вершинами квадрата (рисунок нижче зліва);
5) медіани довільного трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини ( і т. д.) (рисунок справа).

7. Середня лінія трапеції - відрізок, що сполучає середини бічних сторін цієї трапеції.

Властивості

• Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
• Середини сторін рівнобедреної трапеції є вершинами ромбу.

8. Чотирикутник є вписаним тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180 градусів. Також кути, що спираються на одну й ту ж сторону, рівні, зокрема, .

В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.