Особые линии плоскости. Их использование при решении задач начертательной геометрии.

Некоторые прямые плоскости могут занимать особое положение – это линии уровня и линии наклона плоскости. Линии уровня плоскости параллельны соответствующим плоскостям проекций: горизонталь h параллельна П1; фронталь f параллельна П2; профильня прямая р параллельна плоскости проекций П3. Линии нулевого уровня плоскости (соответствующие координаты точек которых равны нулю) являются следами плоскости.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Чтобы плоскость общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо новую плоскость проекций расположить перпендикулярно к какой-либо прямой плоскости. Но если в плоскости взять рямую общего положения, то новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к П1, ни к П2. Если же использовать линию уровня, то на основании известных теорем стереометрии дополнительная плоскость проекций будет перпендикулярна и к заданной плоскости проекций, и к той плоскости проекций, которая параллельна линии уровня. Плоскость общего положения нельзя сразу преобразовать в плоскость уровня, потому что параллельная ей дополнительная плоскость проекций также не будет перпендикулярна ни к П1, ни к П2. Это возможно лишь для проецирующей плоскости.

Основные свойства преобразования гомотетии. Подобие. Масштаб чертежа.

Гомотетия – преобразование центрального подобия, которое может быть задано центром гомотетии S и парой соответственных (гомотетичных) точек А и Ā, определяющих коэффициент гомотетии к=|SĀ|:||SA|. Основными неизменными свойствами (инвариантами) гомотетии являются: 1.точка преобразуется в точку; прямая преобразуется в прямую; плоскость преобразуется в плоскость. 2. Взаимна принадлежность фигур до и после преобразования не нарушается. 3. Угол преобразуется в конгруэнтный ему угол. 4. Любая фигура преобразуется в гомотетичную ей с коэффициентом гомотетии к. Если две гомотетичные фигуры произвольно переместить относительно друг друга в пространстве или плоскости, то отношение гомотетии с центром S, связывающее эти фигуры, исчезнет и превратится в отношение подбия с коэффициентом подобия к.Подобные фигуры связаны отношением: |ĀB|AB| = |BC|:|BC| = =|ĀC|:|AC|=k, где k – коэффициент подобия фигур, k>0. Если модель изготовлена с коэффициентом подобия k, то этот коэффициент называют масштабом модели и обозначают М. Если модель предмета принять за объект проецирования и построить ее ортоганальный чертеж, то масштаб чертежа будет равен масштабу модели.

Центральная и зеркальная симметрия. Примеры использования в технике, архитектуре, дизайне.

Свойства симметрии целесообразно использовать при решении графическими методами многих задач: при изготовлении изделий, выполнении чертежей, при построении линий пересечения поверхностей и их разверток, при постановке размеров, в вопросах композиции и компоновки изображений и тд. Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости а) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости а точку М1. Центра́льной симме́три́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точкуX′, что A — середина отрезка XX′.

Цилиндрическая винтовая линия (ЦВЛ). Образование, изображение на чертеже. Построение развертки ЦВЛ. Параметры ЦВЛ. Примеры использования в технике, архитектуре, дизайне.

Винтовая линия есть траектория точки А, движущейся вдоль линии а, которая, в свою очередь, вращается вокруг оси i. Обычно скорости движения точки А вдоль линии а и вращения линии а вокруг оси i постоянны: v/w=const. Если линия а – прямая, получаем цилиндрическую винтовую линию – гелису, когда а||i, или коническую, когда а∩i. Развертку гелисы можно получить, если совместить с плоскостью цилиндрическую поверхность, на которой расположена гелиса. Гелиса является кратчайшей (геодезической) линией на поверхности цилиндра. Длина L развертки одного витка гелисы равна: L= . Эту формулу часто используют в технике. Угол подъема цилиндрической винтовой линии: tga=P/2⊓R.

Поверхности основные понятия и определения: образование, признак отношения точки к поверхности. Каркас поверхности, проецирующая поверхность.

В начертательное геометрии поверхность удобно рассматривать кинематически – как множество последовательных положений некоторой линии – образующей поверхности, перемещающейся в пространстве определенным заданным образом. Поверхность является абстрактной фигурой, не имеющей толщины. Поверхность ограничивает какое-то геометрическое тело, состоящее из конкретного материала. Поверхность может быть бесконечна, но тело – конечно. По виду образующей поверхности можно разделить на два вида: линейчатые нелинейчатые. Поверхность называют линейчатой, если ее можно образовать движение прямой линии. Поверхность называют нелинейчатой, если ее нельзя образовать перемещение прямой линии. Поверхность считается циклической, если ее образующей может быть окружность. Образующая поверхности в процессе движения может изменять свою форму. Одна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий. В зависимости от закона движения образующей поверхности подразделяются на винтовые, поверхности вращения, поверхности переноса и тп. Точка принадлежит к поверхности, если она лежит на какой-либо линии этой поверхности. Упорядоченное множество точек или линий поверхности называют ее каркасом. Различают точечные и линейные, непрерывные и дискретные каркасы. Такая линейчатая поверхность Т, у которой образующая-прямая g в каждый момент параллельна направлению проецирования s, называется проецирующей.