Тест № 3. Перпендикулярность в пространстве

1. Найдите угол между пересекающимися диагоналями граней куба.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

2. В кубе A…D₁ найдите угол между прямыми AD₁ и CB₁.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении.

1) 45⁰ и 45⁰.

2) 90⁰ и 90⁰.

3) 30⁰ и 60⁰.

4) 60⁰ и 120⁰.

4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в разных диагональных сечениях.

1) 45⁰ и 135⁰.

2) 90⁰ и 90⁰.

3) 30⁰ и 150⁰.

4) 60⁰ и 120⁰.

5. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

6. Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. Найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см.

1) 3 см.

2) 9 см.

3) 27 см.

4) 81 см.

7. Найдите геометрическое место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку.

1) Прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.

2) Плоскость, перпендикулярная данной прямой.

3) Плоскость, параллельная данной прямой.

4) Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.

8. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

1) Перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки.

2) Прямая, параллельная прямой, проходящей через данные точки.

3) Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки.

4) Плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину.

9. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами 32,5 см, найдите наклонную.

1) 7,5 см.

2) 57,5 см.

3) 97 см.

4) 169 см.

10. Концы отрезка находятся от данной плоскости на расстоянии 26 см и 37 см. Его ортогональная проекция на плоскость равна 6 дм. Найдите отрезок.

1) 61 см.

2) 63 см.

3) 64 см.

4) 65 см.

11. Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 45⁰. Найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.

1) 15⁰.

2) 30⁰.

3) 45⁰.

4) 60⁰.

12. Найдите угол наклона отрезка к плоскости, если его ортогональная проекция на эту плоскость в два раза меньше самого отрезка.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех точек окружности.

1) Центр окружности.

2) Окружность.

3) Плоскость, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.

4) Прямая, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.

14. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех сторон ромба.

1) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через его вершину.

2) Плоскость, перпендикулярная к плоскости ромба и проходящая через его диагональ.

3) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через точку пересечения его диагоналей.

4) Окружность, вписанная в ромб.

15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна a, боковое ребро b.

1) .

2) .

3) .

4) .

16. Найдите двугранный угол j между боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

1) sin j = .

2) sin = .

3) cos j = .

4) cos = .

17. Точка A находится от одной из двух перпендикулярных плоскостей на расстоянии 4 см, а от другой на 16 см. Найдите расстояние от точки A до линии пересечения плоскостей.

1) 6 см.

2) 16 см.

3) 2 см.

4) 4 см.

18. Найдите двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 2 см, а сторона основания 4 см.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

19. Точка B, удаленная от ребра двугранного угла на расстояние a, отстоит от каждой его грани на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние, если двугранный угол равен j.

1) asinj.

2) acosj.

3) asin .

4) acos .

20. Точка E принадлежит плоскости a, точка F принадлежит плоскости b. Плоскости перпендикулярны. Ортогональные проекции отрезка EF, равного 10 см, на плоскости a и b соответственно равны 8 см и 7,5 см. Найдите проекцию отрезка EF на линию пересечения плоскостей a и a.

1) 4,5 см.

2) 6 см.

3) 15,5 см.

4) 20 см.

Тест № 4. Многогранники

1. Два плоских угла трехгранного угла равны 98⁰ и 62⁰. В каких пределах находится третий плоский угол j?

1) 62⁰ < j < 98⁰.

2) 0⁰ < j < 160⁰.

3) 0⁰ < j < 36⁰.

4) 36⁰ < j < 160⁰.

2. Найдите плоские углы трехгранных углов правильной шестиугольной призмы.

1) 45⁰, 45⁰, 120⁰.

2) 60⁰, 60⁰, 120⁰.

3) 90⁰, 90⁰, 120⁰.

4) 90⁰, 60⁰, 60⁰.

3. Найдите плоские углы 4-гранных углов правильной 4-угольной пирамиды, высота которой в два раза меньше диагонали основания.

1) 30⁰.

2) 45⁰.

3) 60⁰.

4) 90⁰.

4. В правильной четырехугольной пирамиде отношение стороны основания к высоте равно . Найдите плоские углы ее трехгранных углов.

1) 30⁰, 30⁰, 90⁰.

2) 90⁰, 60⁰, 45⁰.

3) 60⁰, 90⁰, 60⁰.

4) 60⁰, 60⁰, 60⁰.

5. Найдите число плоских углов в 5-угольной призме.

1) 10.

2) 15.

3) 30.

4) 50.

6. Найдите число плоских углов в 11-угольной пирамиде.

1) 11.

2) 44.

3) 55.

4) 33.

7. Найдите сумму плоских углов 6-угольной призмы.

1) 1440⁰.

2) 3600⁰.

3) 3960⁰.

4) 4320⁰.

8. Определите вид призмы, сумма плоских углов которой равна 2160⁰.

1) 8-угольная.

2) 4-угольная.

3) 3-угольная.

4) 5-угольная.

9. Найдите сумму плоских углов 7-угольной пирамиды.

1) 2160⁰.

2) 4320⁰.

3) 1260⁰.

4) 900⁰.

10. Определите вид пирамиды, сумма плоских углов которой равна 3240⁰.

1) 3-угольная.

2) 5-угольная.

3) 7-угольная.

4) 9-угольная.

11. Сколько диагоналей можно провести в кубе?

1) 2.

2) 4.

3) 8.

4) 16.

12. Ребро куба равно a. Найдите площадь его диагонального сечения.

1) a².

2) 2a².

3) a² .

4) 2a² .

13. На какие многогранники разобьется куб, если его рассечь плоскостями, проходящими через его противоположные параллельные ребра?

1) Две 8-угольные пирамиды.

2) Восемь 3-угольных пирамид.

3) Две 4-угольные пирамиды и две 4-угольные призмы.

4) Двадцать четыре 3-угольных пирамид.

14. В кубе провели плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. Найдите число граней усеченного многогранника.

1) 6.

2) 8.

3) 14.

4) 20.

15. В правильном тетраэдре провели плоскости, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины. Найдите число ребер усеченного многогранника.

1) 12.

2) 18.

3) 24.

4) 36.

16. В октаэдре провели плоскости, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины. Найдите число вершин усеченного многогранника.

1) 14.

2) 24.

3) 36.

4) 48.

17. В икосаэдре провели плоскости, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины. Найдите число ребер усеченного многогранника.

1) 60.

2) 90.

3) 120.

4) 180.

18. Найдите сумму плоских углов додекаэдра.

1) 900⁰.

2) 2160⁰.

3) 3240⁰.

4) 6480⁰.

19. Найдите двугранный угол j правильного тетраэдра.

1) cos j = .

2) cos j = .

3) cos j = .

4) cos j = .

20. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 4 см проведена плоскость через ребро AD и точку M – середину ребра BC. Найдите площадь получившегося сечения.

1) 8 см².

2) 16 см².

3) 8 см².

4) 4 см².

Тест № 5. Круглые тела

1. Сколько окружностей большого круга можно провести через точку, принадлежащую сфере?

1) Одну.

2) Две.

3) Четыре.

4) Бесконечно много.

2. Какой фигурой является пересечение двух больших окружностей сферы?

1) Окружностью.

2) Прямой.

3) Двумя точками.

4) Отрезком.

3. Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата?

1) Одну.

2) Две.

3) Четыре.

4) Бесконечно много.

4. Сколько касательных плоскостей можно провести через точку, принадлежащую сфере?

1) Ни одной.

2) Одну.

3) Две.

4) Бесконечно много.

5. Шар радиуса 3,4 см пересечен плоскостью на расстоянии 1,6 см от центра. Найдите площадь сечения.

1) 11,56 см².

2) 5p см².

3) 9p см².

4) 256 см².

6. Через середину радиуса шара перпендикулярно ему проведена плоскость. Площадь получившегося сечения равна 9p см². Найдите радиус шара.

1) см².

2) 12 см².

3) см².

4) см².

7. Найдите радиус сферы, описанной около куба с ребром 36 см.

1) 18 см.

2) 36 см.

3) 9 см.

4) см.

8. Найдите радиус сферы, вписанной в куб с ребром 72 см.

1) 72 см.

2) 36 см.

3) 18 см.

4) 9 см.

9. Сколько осевых сечений имеет цилиндр?

1) Одно.

2) Две.

3) Четыре.

4) Бесконечно много.

10. В цилиндре, радиус основания которого равен 20 см и высота равна 15 см, проведена плоскость параллельно оси на расстоянии 12 см от нее. Найдите площадь сечения.

1) 240 см².

2) 300 см².

3) 480 см².

4) 720 см².

11. В конусе с высотой 3,45 см и радиусом основания 6 см проведено сечение параллельно основанию на расстоянии 1,725 см от вершины. Найдите площадь сечения.

1) 3p см².

2) 9p см².

3) 1,725p см².

4) 18p см².

12. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вращается вокруг прямой AC. Какая фигура получается при этом от вращения точки B?

1) Окружность.

2) Круг.

3) Отрезок.

4) Точка.

13. Прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и B вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла и параллельной меньшей боковой стороне. Какая фигура получится при этом от вращения меньшего основания BC?

1) Круг.

2) Отрезок.

3) Две концентрические окружности.

4) Кольцо.

14. Какое движение оставляет на месте только одну точку?

1) Параллельный перенос.

2) Центральная симметрия.

3) Осевая симметрия.

4) Зеркальная симметрия.

15. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, не имеющий квадратных граней?

1) 3.

2) 4.

3) 6.

4) 12.

16. Сколько осей симметрии имеет цилиндр?

1) 1.

2) 2.

3) 4.

4) Бесконечно много.

17. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, не имеющий квадратных граней?

1) 2.

2) 3.

3) 4.

4) 6.

18. Сколько у правильной 9-угольной призмы осей симметрии?

1) Ни одной.

2) 3.

3) 9.

4) 18.

19. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная 10-угольная пирамида?

1) Ни одной.

2) 5.

3) 10.

4) 20.

20. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная 5-угольная усеченная пирамида?

1) Ни одной.

2) 5.

3) 10.

4) 20.