Погрешность косвенных измерений

Часть 1

Лабораторный практикум по курсу общей физики

для студентов 1–2 курсов РЭФ, ФЭН, ФТФ, ИДО

всех направлений подготовки и всех форм обучения

Новосибирск

2006

УДК 537(076.5)

    Э 454

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. В.Ф. Ким,

канд. физ.-мат. наук, доц. Э.А. Кошелев

Рецензент: канд. пед. наук, доц. Л.П. Панасенко

Работа подготовлена на кафедре

прикладной и теоретической физики

 Ó Новосибирский государственный

     технический университет, 2006

Введение

Класс точности приборов и максимальные приборные

Погрешности

Приборы могут нормироваться по разным видам погрешностей. Для того чтобы заранее оценивать погрешность, которую вносит данное средство измерения (прибор) в конечный результат, пользуются так называемыми нормированными значениями погрешности. Под нормированными значениями понимают погрешности, являющиеся предельными для данного типа средства измерения.

Обобщенной метрологической характеристикой средств измерения является класс точности, который определяет допустимые пределы всех погрешностей, а также все другие свойства, влияющие на точность средств измерений. Чаще всего встречаются три типа классов точности.

Класс точности прибора задан в виде относительной погрешности d:

.                                     (1)

Тогда предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен

.                                          (2)

Данный вид класса точности указывают на приборе внутри кружочка, например     .

Класс точности прибора задан в виде приведенной погрешности g:

,                                     (3)

где x_N – нормирующее значение измеряемой величины, которое равно пределу измерения  для приборов с нулевой отметкой на краю шкалы. Если же нулевая отметка находится посерединешкалы, то нормирующее значение  равно протяженности диапазона измерений. Например, для амперметра со шкалой от –30 до +60А величина А.

Предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен

.                                         (4).

Этот вид класса точности изображают на приборе числом без изображения кружочка или подчеркивания, например, просто 1,5.

На приборах с резко неравномерной шкалой класс точности указывается в долях от длины шкалы и обозначается числом над уголком:

Класс точности задан в виде погрешности,

определяемой двумя числами (a/b) (своеобразная форма

относительной погрешности):

.                               (5)

Тогда предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен

.                            (6)

Этот вид класса точности указывают на приборе в виде дроби, например 0,02/0,01. 

Предельные приборные (инструментальные) погрешности определяют лишь так называемые основные погрешности. В общем случае инструментальные погрешности зависят как от измеряемых величин (на одном диапазоне измерений прибора одна погрешность, на другом диапазоне измерения прибора – другая), так и от условий проведения измерений (рабочие условия могут заметно отличаться от нормальных, например, температура выходит за пределы (20 ± 5) ^оС, относительная влажность вне предела 30–80 % и т. д.). В ответственных физических экспериментах правильный учет инструментальных погрешностей составляет отдельную задачу измерения.

В таблице приборов в качестве максимальной приборной погрешности указываютт один из видов приведенных выше пределов допускаемой приборной погрешности. Например:

Погрешность косвенных измерений

При косвенном измерении физической величины ее значение вычисляется по определенной формуле через величины, получаемые в результате прямых измерений.

Пусть некоторая физическая величина f является функцией величин , которые определяются прямыми измерениями:

.                                     (7)

Допустим также, что  распределены по нормальному закону (закону Гаусса) со среднеквадратичными отклонениями (СКО)  (обычно для случайных погрешностей это выполняется). Тогда, как доказано в теории ошибок,  также распределена по закону Гаусса с СКО, равным

              (8)

Здесь  – частная производная функции   по , т.е. производная, при вычислении которой все остальные аргументы функции, кроме  (т. е. ), считаются постоянными. Аналогичный смысл имеют частные производные по  

Наилучшим значением величины f при косвенном измерении является , где – средние значения величин

В случае, когда формула  содержит лишь знаки умножения (и деления) величин  в произвольных степенях:  (здесь  – постоянные величины), формула для погрешности косвенного измерения выглядит особенно просто:

                  (9)

Предположим, что оценивается величина гравитационной силы взаимодействия двух небесных тел с массами  и . Массы тел найдены с погрешностями , . Тогда среднее значение гравитационной силы находится по формуле 

,                                          (10а)

а погрешность этой оценки силы вычисляется по формуле 

.       (10б)

Эта формула учитывает тот факт, что при вычислении силы наверняка используется значение гравитационной постоянной , которое приводится в простых таблицах физических постоянных. Между тем эта постоянная измерена на настоящий момент с большей точностью, чем это представлено в таблицах,
а именно:

,                 (11)

т. е. используемое значение величины  содержит систематическую погрешность порядка . Это обстоятельство и учитывает формула (10б).