Симметричные составляющие трехфазной системы векторов

Рассмотрим, что представляют собой системы прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз и каковы возможности определения их по заданной несимметричной трехфазной системе векторов. Ввиду того, что фазные ЭДС, напряжения и токи в симметричных системах смещены друг относительно друга по фазе на 120°, для краткости математической записи, как правило, используют оператор . При этом

,

 и

.

a⁴ = a

Три единичных вектора  – образуют симметричную систему, следовательно, .

При помощи оператора  обычная симметричная система трехфазных ЭДС может быть представлена в следующем виде:

;

Понятно, что .

Умножение вектора на  соответствует повороту этого вектора против часовой стрелки на 120°, а умножение на  – такому же повороту на 240°.

Таким образом, с помощью введённого оператора «а» легко выразить каждую из симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Симметричная система прямой последовательности(прямого чередования фаз A, B, C) состоит из трех векторов , равных по модулю, сдвинутых относительно друг друга на 120° и имеющих порядок следования (по часовой стрелке) -  -  (рис. 57а).

Рис. 57.

Используя оператор « », векторы  через вектор  записываются следующим образом:

                                                                                                   (4.1)

Симметричная система обратной последовательности(обратного чередования фаз) состоит из трех векторов , равных по модулю, смещенных относительно друг друга на 120° и имеющих порядок следования  -  - (рис. 57в). При этом фазы B и C здесь меняются местами.

                                                                                                   (4.2)

Система нулевой последовательности  образуется тремя равными векторами, совпадающими между собой по фазе (рис. 57с).

                                                                                                               (4.3)

Используя принцип наложения, любую исходную несимметричную систему трех векторов  легко представить в виде суммы трех симметричных составляющих:

;

;

.

С учетом (4.1, 4.2, 4.3) получаем:

;

;

.                                                                                                 (4.4)

Полученная система уравнений позволяет аналитически путём сложения определить векторы  по их симметричным составляющим , если они известны.

Однако, при этом легко решается и обратная задача, а именно – определение симметричных составляющих ( , , ), ( , , ) и ( , , ), которыми может быть представлена любая несимметричная система векторов , , . Для того чтобы найти нулевую последовательность , достаточно сложить три уравнения (4.4):

.

Поскольку , то .  Понятно, что ₀ = ₀ = ₀.

Для определения составляющей прямой последовательностивторое уравнение в системе (4.4) необходимо умножить на « », а уравнение третье – на  и сложить их. Тогда:

Учитывая, что , , получим: . Притом ₁ = ₁a², ₁ = ₁a.

Для получения составляющих обратной последовательности второе уравнение в (4.4) следует умножить на a², а третье – на а и тоже сложить.

В результате получим

₂ =  

Понятно при этом, что ₂ = ₂a, ₂ = ₂a².

Таким образом, полученные для  уравнения позволяют аналитически определить симметричные составляющие несимметричной системы векторов.

Определение симметричных составляющих можно выполнить аналитически по комплексным изображениям исходных векторов ,  и , либо графически с использованием векторных диаграмм.

Для трехфазных цепей в отношении системы нулевой последовательности можно сделать три важных вывода.

1. Совпадающие между собою по величине и фазе составляющие нулевой последовательности в линейных напряжениях трехфазных цепей отсутствуют.

В случае, если фазы генератора соединены по схеме «звезда» и в них присутствуют нулевые последовательности, в каждом из линейных напряжений их нет, т.к.

_AB0 = _A0 - _B0, _BC0 = _B0 - _C0 и _CA0 = _C0 - _A0 и _A0 = _B0 = _C0.

При соединении фаз генератора по схеме «треугольник»

_AB0 + _BC0 + _CA0 = _AB0z_вн + _BC0z_вн + _CA0z_вн.

Понятно, что при _AB0 = _BC0 = _CA0 = _Ф0  и _AB0 = _BC0 = _CA0 = _Ф, получаем

3 _Ф = 3 _Фz_вн, т.е. _Ф = _Фz_вн.

Это значит, что нулевая составляющая в каждой фазе ЭДС полностью уравновешивает (компенсируется) падением напряжения внутри фазы.

2. В трехфазной трехпроводной цепи векторная сумма линейных токов в соответствии с первым законом Кирхгофа равна нулю. Поэтому составляющие нулевой последовательности в линейных токах таких цепей равны нулю:

, ибо _A0 + _B0 + _C0 = 0.

3. В трехфазной цепи с нейтральным проводом ток в нейтральном проводе равен утроенному значению составляющей нулевой последовательности:

, т.к. сумма симметричных составляющих токов прямой и обратной последовательности в нейтральном проводе равна нулю.

Иллюстрация действий при графическом способе определения векторов прямого, обратного и нулевого чередования фаз по исходной (известной) несимметричной системе векторов _A, _B и _C, приведена нарис. 58. Понятно, что все построения здесь должны производиться с соблюдением масштаба напряжений.

Составляющая ₀ определяется путём простого сложения векторов _A + _B + _C = 3 ₀  и иллюстрируется рис. 58.в. Все построения производятся путём параллельного переноса векторов. При этом , тогда  – масштаб напряжений.

Для определения напряжений прямой и обратной последовательностей нужно сложить векторы по формулам:

.

При построении векторов необходимо учитывать, что умножение вектора на  означает поворот его против часовой стрелки на 120°, а умножение на  поворачивает вектор на 240° в том же направлении (рис. 58c, 58d) или на 120º - в обратном.

Из диаграмм находим:

.

Рис. 58.