Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения второго порядка ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Задача 6.Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .
Решение:
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где – некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:
; ; , откуда или .
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка : ; .
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; . Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Задача 7.Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; . Решение:
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента . Если , то . Тогда данное уравнение примет вид ; ; . Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; – решение данного уравнения.
Приравняем нулю второй множитель: ; ; ; или . Используя начальные условия, находим : ; . Далее решаем уравнение : ; . Теперь определим значение : ; . Тогда ; и – искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 8.Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям: а) ; б) .
Решение:
При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где – многочлен степени , – многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – какое-либо частное решение неоднородного уравнения. 1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение , при решении которого возможны следующие случаи: 1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные; 2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные; 3) уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные. 2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где – многочлен степени , – многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и – многочлены степени , , а – кратность корня характеристического уравнения . При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:
Решение:
а) . Общее решение данного уравнения имеет вид: . Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или . Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , таким образом =1. Получаем: , так как , =1, =0, то , . Найдём производные первого и второго порядка от , . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения: Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и . отсюда Тогда – частное решение исходного уравнения. б) Общее решение данного уравнения имеет вид: . Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Так как решения комплексные числа (третий случай), то или . Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда . Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0. Получаем: , т.к. , =1, =0, то . Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, таким образом =0. Получаем: , так как , =1, то . Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от . , . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения: Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и . отсюда Тогда - частное решение исходного уравнения. Ряды и их приложения Задача 9.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Решение:
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд Маклорена функции sinx, имеем: , тогда Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. |
|||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 214. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |