Дифференциальные уравнения второго порядка

Задача 6.Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение:

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где  – некоторая функция аргумента . Если , то  и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных  и . Решим это уравнение:

; ;

,

откуда  или .

Определим численное значение  при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :

;

.

Определим численное значение  при указанных начальных условиях. Имеем ; .

Таким образом,  есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 7.Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение:

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим ,  – некоторая функция аргумента .

Если

, то . Тогда данное уравнение примет вид

 ;  ; .

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ;  – решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

; ; ;

  или .

Используя начальные условия, находим :

; .

Далее решаем уравнение :

; .

Теперь определим значение :

; .

Тогда

;  и  – искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 8.Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) ;

б) .

Решение:

При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью  где , где – многочлен степени , – многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения  составляем характеристическое уравнение , при решении которого возможны следующие случаи:

1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где  и - произвольные постоянные;

2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где  и - произвольные постоянные;

3) уравнение имеет комплексные корни  и , тогда , где  и - произвольные постоянные.

2. Если правая часть уравнения  имеет специальный вид , где – многочлен степени ,  – многочлен степени , тогда частное решение  ищется в виде: ,  и – многочлены степени , , а  – кратность корня  характеристического уравнения .

При составлении частного решения  удобно использовать следующую таблицу:

Степень многочлена	Вид многочлена	Вид многочлена
=0
=1
=2
=3

Решение:

а) .

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются  и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то  или .

Теперь найдём . Правая часть  имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда  и , таким образом =1.  

Получаем: , так как , =1, =0, то ,

. Найдём производные первого и второго порядка от

, .

Запишем ,  и  следующим образом, подписывая слева коэффициенты ,  и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : .

Подставляем начальные условия  в  и .

    отсюда 

Тогда   – частное решение исходного уравнения.

б)

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются  и . Так как решения комплексные числа (третий случай), то  или .

Теперь найдём . Правая часть  есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где  и . Тогда .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда  не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда  не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, таким образом =0.

Получаем: , так как , =1, то

.

Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем ,  и  следующим образом, подписывая слева коэффициенты ,  и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия  в  и .

отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.

Ряды и их приложения

Задача 9.Вычислить интеграл  с точностью до 0,001.

Решение:

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд Маклорена функции sinx, имеем:

, тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.