Дифференциальные уравнения первого порядка

Задача 4.Найти общее решение уравнения .

Решение:

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при  и  есть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных . Применяем подстановку , где – некоторая функция аргумента .

Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид .

Сократив на , будем иметь:

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно  и . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

; ;

; .

 Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или  – общее решение данного уравнения.

Задача 5.Найти общее решение уравнения .

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию  и её производную  в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где  и  – некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то  и данное уравнение примет вид

,

или

. (1)

Так как искомая функция  представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию  так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, то есть выберем функцию  так, чтобы имело место равенство

                                                 (2)

При таком выборе функции  уравнение (1) примет вид

.                                                    (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно  и . Решим это уравнение:

; ; ;

; , .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; . Интегрируя, получаем . Тогда  – общее решение данного уравнения.