Примерные решения некоторых тематических задач

Элементы линейной алгебры.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Гаусса; б) с помощью определителей;

Решение

а) Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на (–5) и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

                                        (1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

                                                 (2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) переменную х₂. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на (-7) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

                                           (3)

Откуда x₃ = 3, х₂ = 1 и х₁ = –2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, то есть матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид:

.

Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Элементы второй строки умножим на (–7) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

б) Составим и вычислим следующие определители системы. Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных:

Аналогично вычисляем , полученный из  заменой первого столбца столбцом свободных коэффициентов: ,  и .

Тогда решения системы найдём по формулам: , , .

Дифференциальное исчисление

Задача 2.Найти производные  следующих функций:

а)  б)  в)

г) ; д); .

Решение:

При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных элементарных функций.

Правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Таблица производных основных элементарных функций:

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций

а) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая  сложной функцией от переменной х:

откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, азатем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у и находим производную у':

откуда

г) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем: .

д) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

.

Неопределенный интеграл

Задача 3.Найти неопределённые интегралы:

а)  б) ; в)  г) ; д)  е) ; ж) ; з)  и) ; к) ; л) .

Решение:

При нахождении неопределённых интегралов функций используют следующие свойства:

1) ,

2)  

и таблицу интегралов основных элементарных функций:

1. ;

2. ; ;

3. ; ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

9'.                              

8. ;

10'. ;

9. ;

11'. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14.

а) Подынтегральное выражение представляет собой неправильную рациональную дробь, так как степень многочлена, стоящего в числителе, больше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Поэтому выделим целую часть дроби (разделим числитель на знаменатель с остатком).

Тогда данную дробь можно записать в виде

Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей четырёх типов: 1) ; 2)  где m – целое число, большее единицы; 3)  где  то есть квадратный трёхчлен   не  имеет действительных корней;   4)   где  n > 1,   n – целое число и квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней.

Выпишем знаменатель дроби и разложим его на множители

Знаменатель представляет собой произведение линейных множителей в первой степени, следовательно, дробь можно разложить на сумму простейших дробей первого типа.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в числителях дробей

Решая систему, получим

Значит, подынтегральная дробь представится в виде

Следовательно,

б) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим знаменатель на множители:

Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и второго типа, т. к. знаменатель дроби представляет собой произведение линейных множителей, один из которых кратный.

= =

= .

Приравняем коэффициенты многочленов, стоящих в числителе.

Решая данную систему, получим:  Имеем:

.

Таким образом, данный интеграл можно записать в виде:

=

в) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и третьего типа, так как знаменатель представляет собой произведение линейного множителя в первой степени и квадратного трёхчлена , не имеющего действительных корней, также в первой степени.

Решая данную систему, получим:  Имеем

г) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей третьего и четвёртого типа, т. к. знаменатель представляет собой квадратный трёхчлен , не имеющего действительных корней, во второй степени.

Решая данную систему, получим:   Имеем

 Тогда

Отдельно найдём последний интеграл. Положим  тогда  Получим

Окончательно получим

д) Сделаем замену ,

=

е) Интегрируем по частям по формуле: .

.

ж) Сделаем замену  Получим

з) Сделаем замену

 Получим

Последний интеграл есть интеграл от рациональной дроби. Выпишем эту дробь и разложим её на сумму простейших.

Решая систему, получим

Тогда

Следовательно,

и)

к)

л)