Позиционные системы счисления

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

Таблицы сложения и умножения для систем счисления с основаниями q=2 и q=8

Q=2

Q=8

Сложить числа:

 а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

 б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

 в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

Выполнить вычитание:

 а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

 б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

 в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

 Выполнить умножение:

 а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).

 б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).

 в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).

Выполнить деление:

 а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);

 б) 46230(8) : 53(8)=710(8);

2. Приоритетные и двоичные шифраторы. Назначение. Функционирование. Схема наращивания размерности. Реализация схем указателя старшей единицы.

Двоичные шифраторы выполняют операцию, обратную по отношению к операции дешифратора: они преобразуют код "1 из N" в двоичный. При возбуждении одного из входов шифратора на его выходе формируется двоичный код номера возбужденной входной линии. Полный двоичный шифратор имеет 2ⁿ входов и n выходов.

Приоритетные шифраторы выполняют более сложную операцию. При работе ЭВМ и в других устройствах часто решается задача определения приоритетного претендента на пользование каким-либо ресурсом. Несколько конкурентов выставляют свои запросы на обслуживание, которые не могут быть удовлетворены одновременно. Нужно выбрать того, кому предоставляется право первоочередного обслуживания. Простейший вариант решения указанной задачи - присвоение каждому источнику запросов фиксированного приоритета.

Приоритетный шифратор вырабатывает на выходе двоичный номер старшего запроса.

В сериях элементов двоичный шифратор как самостоятельный элемент может отсутствовать. Режим его работы - частный случай работы приоритетного шифратора.

Указатели старшей единицы решают в сущности ту же задачу, что и приоритетные шифраторы, но вырабатывают результат в иной форме - в виде кода "1 из N". Таким образом, при наличии на входах нескольких возбужденных линий (запросов) на выходе будет возбуждена лишь одна, соответствующая старшему запросу. Число входов в этом случае равно числу выходов схемы. Указатели старшей единицы применяются в устройствах нормализации чисел с плавающей точкой и т. д.

В промышленных сериях элементов имеются шифраторы приоритета для восьмиразрядных и десятиразрядных слов.

Функционирование их отображается в табл.

Таблица полностью характеризует работу приоритетного шифратора при всех возможных комбинациях сигналов: EI - сигнала разрешения работы данного шифратора; ЕО - сигнала, вырабатываемого на выходе данного шифратора при отсутствии запросов на его входах для разрешения работы следующего (младшего) шифратора при наращивании размерности шифраторов; G - сигнала, отмечающего наличие запросов на входе данного шифратора; R₇...R₀ - запросов на входах шифратора; а₂...а₀ - значений разрядов выходного двоичного кода, формирующего номер старшего запроса. Все перечисленные сигналы формируются при условии EI = 1 (работа шифратора разрешена). При EI = 0 независимо от состояний входов запросов все выходные сигналы шифратора становятся нулевыми.