Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Их свойства и канонические уравнения.

Эллипсом (Рис. 4) называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Эксцентриситетом  эллипса называется отношение , где с- половина расстояния между фокусами, -большая полуось эллипса.

Гиперболой (Рис. 5) называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Эксцентриситетом  гиперболы называется отношение , где с- половина расстояния между фокусами, -действительная полуось эллипса.

Параболой (Рис. 6) называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки , называемой фокусом, и от данной прямой , называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Уравнение параболы имеет вид .

Точка O называется вершиной параболы.

6.1 Привести к каноническому виду уравнения кривых:

     a. ,

     б. ,

     в. ,

     г. ,

     д.

Указание. Записать характеристический многочлен. Найти собственные вектора и собственные значения. Найти ортонормированную систему собственных векторов. Записать матрицу преобразований.