Векторное произведение, смешанное произведение.

Декартова система координат. Векторы. Скалярное произведение. Деление отрезка в заданном отношении.

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz, то точка М пространства, имеющая координаты x (абcцисса), y (ордината) и z (аппликата), обозначается M(x,y,z). Расстояние между двумя точками  и  вычисляется по формуле .

     Вектором называется направленный отрезок. Векторы можно складывать (по правилу треугольника (Рис. 1a) или правилу параллелограмма (Рис. 1б)), вычитать (Рис. 1с), умножать на число (Рис 1д, 1е).

Чтобы вычислить координаты вектора, необходимо от координат конца вектора отнять координаты начала вектора

     Проекция вектора  на вектор  вычисляется по правилу .

     Скалярное произведение используется для вычисления длин отрезков и углов между векторами. Скалярное произведение вычисляется по формуле . Если  и , то . Длина вектора вычисляется по формуле . Косинус угла между векторами вычисляется по формуле .

     Свойства скалярного произведения

1. ,

2. для не нулевых векторов  и , ,

3. ,

4. ,

5. .

     Задача 1. В треугольнике АВС точка М делит сторону АС в отношении m:n. Вычислите  и угол .

Решение.

,

,

,                                                                         

, ,

,

.

Обозначим:

, ,

тогда

.

Теорема о делении отрезка в заданном отношении   (смотри Рис. 2).

1.1 Координаты вершин треугольника A(1, 2, 3), В(0, 1, -1), С(-2,0,0). Найдите:

1. координаты вектора ,

2. координаты центра тяжести треугольника АВС,

3. координаты точек M и N, делящих отрезок  на три равные части,

4. длину вектора ,

5. проекцию вектора  на вектор ,

6. координаты вершины D, параллелограмма ABCD,

7. длину диагонали BD, параллелограмма ABCD,

8. на оси OX точку, равноудалённую от вершин AB.

9. Будет ли угол A в треугольнике острым?

10. Докажите равенство .

Векторное произведение, смешанное произведение.

     Векторное произведение используется для вычисления площадей треугольников и других фигур.             

Векторным произведением вектора  на вектор  называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1. модуль вектора  равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и ( ),

2.  и ,

3. тройка векторов ,  и  обладает положительной ориентацией.

Свойства векторного произведения:

1. ,

2. , если , либо , либо ,

3.  (сочетательное свойство),

4.  (распределительное свойство).

Координаты векторного произведения вычисляются по формуле.

.

2.1 Координаты точек , , . Используя векторное произведение

а. вычислите площадь треугольника ABC,

б. вычислите ,

с. вычислите площадь параллелограмма ABCD ,

д. координаты векторов, перпендикулярных плоскости ABC ,

е. значение параметров , при которых векторы  и  параллельны.

     Смешанное произведение используется для вычисления объёмов. Смешанное произведение векторов  и равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах  и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов  и  обладает положительной ориентацией (взятому со знаком минус, если тройка векторов  и  обладает отрицательной ориентацией).

     Смешанное произведение вычисляется по формуле

.

     Свойства смешанного произведения:

 смешанное произведение может быть представлено с использованием скалярного и векторного произведений.

Смешанное произведение равно нулю, если один из перемножаемых векторов равен нулю, либо два из перемножаемых векторов параллельны, либо три перемножаемых вектора компланарны (т. е. лежат в одной плоскости).

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Объём тетраэдра, построенного на векторах  и  вычисляется по формуле .

2.2 Координаты точек , , , . Точка М лежит на отрезке , точка N лежит на отрезке , причём  и . Используя теорему о делении отрезка в заданном отношении, вычислите:

a. oбъём тетраедра ABCD,

б. объём тетраэдра BMND,

с. площадь треугольника .

2.3 Координаты векторов , , . При каком значении параметра

а. векторы  лежат в одной плоскости (коллинеарны)

б. ориентация тройки векторов ,  и  положительна

с. .

Прямая в пространстве: параметрическое уравнение прямой, каноническое уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых: угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.

           Прямая в пространстве определяется точкой , через которую проходит данная прямая, и вектором, параллельным данной прямой . В параметрическом виде уравнение такой прямой имеет вид

.

Каждое значение параметра t задёт координаты точки прямой. Исключив параметр , получим уравнение прямой в каноническом виде

 .

     Углом между двумя прямыми называется острый положительный угол между двумя векторами, параллельными этим прямым.

     Углом между прямой и плоскостью называется острый положительный угол между вектором, параллельным прямой, и вектором, лежащим на проекции данной прямой на плоскость.

3.1 Найдите угол между прямыми

и  .

3.2 При каких значениях параметров  прямые

 и  будут параллельны?

3.3 При каком значении параметра  прямые

и    будут перпендикулярны?

     3.4 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно вектору .

     3.5 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно векторам .

3.6 Напишите уравнение прямой, проходящей через точки (2,-1,5) и (1,1,4).