Прямая на плоскости: общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Расстояние от точки до прямой.

     Прямая на плоскости определяется точкой , через которую проходит данная прямая, и вектором , перпендикулярным прямой. Общее уравнение прямой записывается в виде .

     Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки , записывается в виде .

Расстояние d от точки  до прямой  вычисляется по формуле

.

4.1 Найдите расстояние от прямой  до точки .

4.2 Найдите угол между прямыми  и .

4.3 Найдите расстояние между прямыми  и .

4.5 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (0,0) перпендикулярно прямой .

4.6 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (0,0) параллельно прямой .

Плоскость. Общее уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Плоскость в пространстве определяется точкой , через которую проходит данная плоскость, и вектором , перпендикулярным плоскости. Произвольный вектор, соединяющий точку  и произвольную точку этой плоскости, имеет координаты . Вектор  должен быть перпендикулярен вектору  и скалярное произведение . Таким образом, общее уравнение плоскости записывается в виде

.

Расстояние d от точки до плоскости равно модулю проекции вектора  на направление, заданное вектором . Это расстояние вычисляется по формуле

.

5.1 Вычислите расстояние от точки (1,2,7) до плоскости .

5.2  Вычислите расстояние между плоскостями  и .

5.3 Найдите угол между плоскостями  и

5.4 Напишите уравнение плоскости, проходящее через точку (1,3,-4) параллельно двум векторам (-1,3,5) и (0,1,6).

5.5 При каком значении параметра А плоскости  и  перпендикулярны?

5.6 Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки (1,3,4) (0,-2,-5) (1,1,7).

5.7 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки (1,3,4) (0,-2,-5) перпендикулярно плоскости .

5.8 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку (1,3,4) параллельно плоскости .

5.9 Напишите уравнение плоскости, проходящего через точку (1,3,4) перпендикулярно прямой .

5.10 Напишите уравнение плоскости, проходящего через прямую  параллельно прямой .

5.11 Найдите угол между прямой  и плоскостью .

Указание.Пусть - это угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Угол между прямой и плоскостью равен .