Правило Верещагина А.К. « перемножение» эпюр.

Правило Верещагина А.К. « перемножение» эпюр заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.1). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.1,а):

(1)

Рис. 1

По формуле (1) можно перемножить и эпюры, имеющих вид "перекрученных" трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис. 2,в) или разность (рис.2,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:

(2)

но значение f при этом определяется по-разному (рис. 2, в, г).

Рис. 2

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра является прямолинейной.

Формула «перемножения» трапеций, формула Симпсона.

Рассмотрим интегрирование по способу Симпсона функции, описываемой кубической параболой, приведенной на рис.1.

Рис.1

Формула, которой предлагается пользоваться в этом случае, имеет вид:

На рис.1 приведены грузовая (а) и единичная (б) эпюры изгибающих моментов для одного участка.

Рис.2

Буквами А, С и В обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на грузовой эпюре. Буквами а, c и b обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на единичной эпюре.

Интеграл Мора для одного участка имеет вид:

Произведение моментов под интегралом обозначим:

Применяя формулу Симпсона к интегралу Мора после соответствующих замен и подстановок, получим:

При решении задач с несколькими участками формула Мора-Симпсона принимает вид:

В том случае, если обе эпюры изгибающих моментов, грузовая и единичная, меняются по линейному закону и представляют собой на каждом из участков трапеции, можно исключить средние значения моментов С и с, учитывая, что они могут быть вычислены из выражений:

Подставляя эти значения в формулу (12), получаем формулу трапеций:

Расчет статически неопределимых стержневых систем