Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Законы распределения вероятностей случайных величин
Поскольку в подавляющем большинстве случаев при проведении экспериментальных исследований не удается избежать воздействия возмущающих факторов, параметры ОИ следует рассматривать как случайные величины, а значения этих параметров, измеренные в конкретных опытах — как реализации случайных величин. Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Дискретные величины способны принимать лишь ограниченное число значений, известных заранее, например количество успешных опытов или каких-либо объектов, выражаемое целым числом, лежащем в заданном интервале. Непрерывные величины могут принимать любое значение в некотором интервале. В большинстве случаев результаты опытов являются непрерывными случайными величинами. Предположим, какая-либо случайная величина измеряется бесконечное число раз. Полученное в результате множество, которое содержит в себе любые значения величины, которые можно получить при реальном эксперименте, называется гипотетической генеральной совокупностью. Исследователь при постановке опытов делает конечное, обычно небольшое, число измерений. Их можно рассматривать как случайнуювыборку из гипотетической генеральной совокупности. Задача обработки сводится к определению по данным выборки показателей, оценивающих параметры генеральной совокупности. Для правильного решения этой задачи необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины — зависимость, связывающую значения случайной величины и вероятность появления этих значений. Для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей может быть задан: 1. В табличной форме:
где xi – значения случайной величины X (заглавными литерами принято обозначать сами случайные величины, а прописными — их значения); Pi – вероятность, с которой случайная величина примет соответствующее значение. 2. В графической форме — в виде полигона распределения вероятностей, рис. 6.1 а, или гистограммы, рис. 6.1 б. Отличие заключается в том, что в полигоне по оси ординат откладывается вероятность Pi, а в гистограмме — плотность распределения вероятностей — отношение вероятности к величине интервала Δx между значениями: (6.3) Тогда вероятность есть площадь соответствующего столбца. 3. В аналитической форме — в виде некоторой функции, отражающей зависимость вероятности от значения случайной величины. Задать закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины одним из описанных выше способов невозможно, поскольку непрерывная величина может принимать бесконечное множество значений. Вероятность того, что такая величина примет некоторое заданное значение, всегда равна нулю. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины задается в виде функции, равной вероятности того, что случайная величина X будет меньше заданной величины x: . (6.4) Такая функция называется интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины. Эта функция неубывающая, F(–∞) = 0, F(+∞) = 1. Вид графика функции F(x) показан на рис. 6.2 а. Интегральная функция распределения вероятностей позволяет определить вероятность попадания значения случайной величины на некоторый интервал [x1; x2]: . (6.5) Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины может быть задан также в виде дифференциальной функции, или плотности распределения вероятностей. . (6.6) . (6.7) Отсюда следует, что площадь под всей кривой функции f(x) должна быть равна 1, поскольку это вероятность попадания X на интервал (–∞; +∞): . (6.8) Это свойство плотности распределения вероятностей называется свойством нормирования. Преимущество дифференциальной функции распределения вероятностей перед интегральной заключается в ее наглядности. Окрестность максимума функции соответствует области наиболее вероятных значений случайной величины. Для оценки закона распределения вероятностей в реальном эксперименте проводят большое число параллельных опытов. В результате получают выборку реализаций величины X объемом n. Весь диапазон значений величин делят на равные интервалы. Число интервалов рекомендуется принимать (6.9) Затем подсчитывают количество nu попаданий значений X в каждый из интервалов. Отношение этой величины к общему числу измерений n (6.10) называется относительной частотой попадания и является оценкой вероятности попадания единичных измерений в соответствующий интервал. Оценку плотности вероятности попадания случайной величины в интервал можно получить, разделив на величину интервала: (6.11) По полученным результатам строят гистограмму или график распределения плотностей вероятностей, рис. 6.3, по которому можно оценить вид закона распределения плотностей вероятностей для генеральной совокупности. При построении графика условно принимают , где — середина u-гоинтервала. , (6.12) где mx и σ — параметры нормального закона (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение). Нормальному закону подчиняются величины, случайный характер которых обусловлен действием множества независимых случайных факторов. Таково большинство погрешностей измерений. Преимуществом нормального закона является простота получения оценок его параметров mx и σ по данным выборки. Вид графика нормального закона распределения вероятностей показан на рис. 6.2 б. Распределение плотностей вероятностей в выборке, показанное на рис. 6.3, также соответствует нормальному распределению. |
|||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 355. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |