Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дробный факторный эксперимент
С увеличением числа факторов резко возрастает количество опытов ПФЭ. Так при 5-и факторах оно равно 32, при 6-и — 64 и т.д. Выполнить такое количество опытов технически сложно. Кроме того, значительно возрастает число степеней свободы при нахождении коэффициентов полинома. Для ПФЭ 25 необходимо найти 6 коэффициентов, следовательно число степеней свободы, т.е. количество избыточных значений Yu, составит 32 – 6 = 24. Существует методика уменьшения числа опытов — дробный факторный эксперимент, план которого представляет собой некоторую часть (½, ¼ и т.д.) плана ПФЭ. План ДФЭ строится следующим образом. Способом чередования знаков заполняются столбцы не для всех, а только для части факторов. Поскольку в линейной модели (5.1) эффекты взаимодействия между несколькими факторами не учитываются, уровни оставшихся факторов получаются с использованием некоторых генерирующих соотношений между факторами первой группы. Генерирующее соотношение — произведение факторов, заменяемое в матрице новой независимой переменной. Например, для случая четырех факторов, когда факторы х1, х2 и х3 являются свободными, для получения значений фактора х4 можем использовать такие генерирующие соотношения: (5.11) Выбор некоторого генерирующего соотношения означает, что при проведении эксперимента мы пренебрегаем эффектом взаимодействия соответствующих факторов. Так, выбрав вариант 4, мы исключим из анализа эффект взаимодействия трех факторов х1, х2 и х3. В таком случае матрица ДФЭ 24-1 будет иметь вид, представленный в табл. 5.2 Таблица 5.2 — Матрица планирования ДФЭ 24-1
Дробный факторный эксперимент позволяет сократить число опытов, однако теперь оценки коэффициентов не будут раздельными, как в ПФЭ. Как видно из матрицы планирования, оценка коэффициента b4 будет смешана с оценкой b123, который мы исключили из рассмотрения. Однако, смешанными оказываются и другие коэффициенты. Умножив генерирующее соотношение на фактор, стоящий слева, получим , или, учитывая, что , . (5.12) Это т.н. определяющий контраст — соотношение между факторами, определяющее разрешающую способность матрицы. Умножив левую и правую части определяющего контраста на фактор xi, получим ответ, какой эффект смешан. Например, для фактора x1 , (5.13) т.е. оценка коэффициента b1 смешана с оценкой b234. Аналогично получим и , (5.14) Смешанными оказываются и оценки коэффициентов взаимодействия двух факторов: , (5.15) т.е. смешаны оценки коэффициентов b12 и b34. Разрешающая способность матрицы тем выше, чем выше порядок генерирующего соотношения, поскольку, например, эффект взаимодействия трех факторов обычно меньше, чем двух, и пренебрежение этим эффектом приводит к меньшей ошибке. Планирование отсеивающих экспериментов Для разделения факторов на значимые и незначимые часто недостаточно изучения и анализа априорной информации об объекте. Необходимы специальные исследования — отсеивающие эксперименты. Их проводят на начальной стадии до планирования и постановки основного эксперимента. Планирование отсеивающих экспериментов стремятся свести к минимальному числу опытов. Для выделения значимых факторов используются: метод экспертных оценок, планы Планкета – Бермана, метод случайного баланса, планы дробного факторного эксперимента. Для отсеивания факторов достаточным является анализ линейной модели. Число коэффициентов такой модели l = k+1, где k — число факторов. В зависимости от соотношения между числом опытов n и определяемым числом коэффициентов планы делятся на ненасыщенные (n > l), насыщенные (n = l) и сверхнасыщенные (n < l). Матрица планирования дробнофакторного эксперимента составляется в соответствии с изложенным ранее. Для оценки воспроизводимости проводят параллельные опыты по всем строкам матрицы или, что делается чаще, ограничиваются опытами в одной точке факторного пространства. Обычно в качестве таковой принимают центр плана (нулевые уровни всех факторов). Коэффициенты уравнения регрессии определяются методом наименьших квадратов. Значимость коэффициентов, определяющая степень значимости соответствующих факторов, оценивается с использованием критерия Стьюдента. Методы оценки воспроизводимости опытов, регрессионного анализа (метод наименьших квадратов) и оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии приведены ниже. Планы второго порядка Если описать процессы в объекте линейным уравнением не удается, то переходят к планам второго порядка. Для получения коэффициентов регрессии в этом случае варьирования факторами на двух уровнях недостаточно. При небольшом количестве факторов можно варьировать каждый фактор на трех уровнях — верхнем, нижнем и нулевом. Полнофакторный эксперимент в таком случае обозначается как 3k. Однако, переход к полному факторному эксперименту на трех уровнях связан с постановкой большого числа опытов. Так, для четырех факторов ПФЭ 34 требует 34 = 81 опыт, а ПФЭ 35 — 243. Бокс и Уилсон обосновали возможность использования схем, в которых план типа 2k, используемый в качестве «ядра», дополняется «звездными»точками (по две на каждый фактор), а также нулевой точкой в центре плана. На рис. 5.3 показано расположение точек факторного пространства такого плана для двух входных переменных. «Звездные» точки отстоят от центра плана на расстоянии α, называемом «плечом». Оптимальная величина «плеча» зависит от числа свободных факторов, табл. 5.3. Общее количество опытов с использованием звездных точек составляет , (5.16) Пример построения матрицы второго порядка для двухфакторного эксперимента показан в табл. 5.4.
Таблица 5.3 — Данные к построению матриц планов второго порядка
Таблица 5.4 — Матрица плана второго порядка для трех факторов
Экстремальный эксперимент. Целью исследования часто является поиск оптимальных условий функционирования объекта. В большинстве случаев необходимо найти сочетание факторов, соответствующее экстремальному (наибольшему или наименьшему) значению параметра. В случае двух факторов функция отклика Y = f (X1, X2) может быть представлена графически поверхностью, рис. 5.2 а. В точке M функция отклика достигает оптимального значения Yопт, которому соответствует сочетание факторов (X1опт, X2опт). Проекции сечений поверхности отклика горизонтальными плоскостями на плоскость X1ОX2 образуют линии равного отклика. В случае, если удается описать процесс уравнением второго порядка, точку экстремума можно установить, используя методы математического анализа. При значительной нелинейности поверхности отклика этого сделать нельзя. В последнем случае ставят экстремальный эксперимент. Разработано несколько методов его проведения. Классический метод для поиска экстремума заключается в следующем: 1) Фиксируя значения всех факторов, кроме одного, проводят серию опытов, варьируя выбранный фактор в пределах области его определения с некоторым шагом, рис 5.2 б. 2) Фиксируют выбранный фактор на том уровне, при котором получено максимальное значение функции отклика, после чего проводят следующую серию опытов, варьируя аналогичным образом следующий фактор. 3) Проведя серии опытов для всех факторов, получают точку M′′, приближенную к оптимуму. 4) Если приближение к оптимуму недостаточно, проводят дополнительные серии опытов по изложенной методике, но факторы варьируются в меньшей области и с меньшим шагом. Это позволяет получить более точное приближение к точке оптимума. Использование классического метода требует проведения весьма большого количества опытов, которое растет с увеличением числа факторов. Значительно экономичнее метод «крутого восхождения»: 1) В области факторного пространства с центром в точке (X′1, X′2), которую исследователь считает близкой к оптимуму, ставят ПФЭ, (для большого числа факторов — ДФЭ), рис 5.2 в. Находят уравнение регрессии в виде полинома первой степени и проверяют его адекватность. 2) По уравнению регрессии определяют градиент изменения параметра. Градиентом называется вектор, направленный в сторону наиболее интенсивного, «крутого» возрастания значения функции. (5.17) Поскольку функция отклика аппроксимирована полиномом первой степени вида (5.1), нетрудно видеть, что частные производные Y по факторам будут равны соответствующим коэффициентам: или (5.18) 3) Ставят ряд опытов в точках, лежащих на градиенте. Для этого выбирается базовый фактор, который оказывает наибольшее воздействие на параметр, т.е. для которого произведение bi ΔXi является наибольшим; здесь ΔXi — интервал варьирования i-го фактора. Для базового фактора выбирают шаг смещения hб. Эта процедура не является формализованной. Здесь многое зависит от опыта экспериментатора, а также априорной информации об объекте исследования. После выбора шага hб определяют смещение для других факторов: . (5.18) Проводят серию опытов, варьируя все факторы с шагами hi, при этом опытные точки будут лежать на градиенте. По данным опытов устанавливают положение частного экстремума в данном направлении. 4) В точке частного экстремума ставят новый факторный эксперимент. Находят уравнение регрессии. Проверяют его адекватность. Ищут направление нового градиента и осуществляют «крутое восхождение» по нему в соответствии с изложенным ранее. Поиск прекращается, когда линейная модель оказывается неадекватной. Это означает, что достигнута область оптимума. В ней ставят эксперимент второго порядка, по которому уточняют положение оптимума, или просто принимают наилучший из полученных результатов.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 697. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |