Мостовой схемы на переменном токе

Министерство образования и науки РЕспублики Казахстан

Казахский национальный технический университет имени К.И. Сатпаева

Институт высоких технологий и устойчивого развития

Кафедра общей и теоретической физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 a

Определение емкости конденсатора при помощи

Мостовой схемы на переменном токе

Методические указания к лабораторному занятию по дисциплине

«Электричество и магнетизм»

(для студентов 1, 2 курсов всех специальностей КазНТУ)

Алматы 2014

Лабораторная работа №3а

Определение емкости конденсатора при помощи

мостовой схемы на переменном токе

Цель работы. Ознакомление с методами измерения электрической емкости; изучение устройства и принципа работы моста переменного тока; проверка выполнения закона параллельного и последовательного соединений конденсаторов.

 Теоретическое введение

При сообщении некоторого количества электричества уединенному проводнику, заряды распределяются по его поверхности с плотностью . Емкостью уединенного проводника называется физическая величина, измеряемая отношением изменения заряда проводника к изменению его потенциала:

                                                  ,                                          (3.1)

где С – электроемкость.

Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, причем геометрически подобные проводники обладают емкостями, прямо пропорциональными их линейным размерам. Это связано с тем, что на геометрически подобных проводниках распределение зарядов тоже будет подобным, а расстояние от аналогичных зарядов до соответствующих точек поля прямо пропорционально линейным размерам проводников.

    Потенциал уединенного проводящего шара радиусом R в системе СИ определяется по формуле:

                                              ,                                          (3. 2)

из определения емкости следует, что

                                               ,                            (3. 3)

единица электроемкости в системе СИ – Фарада.

    Если проводник не уединенный, то его электроемкость больше, чем уединенного, т. е. при сообщении проводнику заряда, окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем, ближайшие к наводящему заряду оказываются заряды противоположного знака, что и ослабляет поле создаваемого зарядом. Таким образом, если потенциал проводника понижается, его электроемкость увеличивается. Более важным является понятие емкости конденсатора.

    Система из двух проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку, расположены так друг от друга, что создаваемое электростатическое поле полностью или практически полностью сосредоточено в ограниченной части пространства, называется конденсатором, а сами проводники – обкладками конденсатора.

    Электроемкость конденсатора выражается формулой

                                           .                                   (3.4)

  По форме обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Рисунок 3.1. Поле плоского конденсатора

 Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рисунок 3.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рисунок 3.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, т.к. при этом нарушается потенциальный характер электрического поля.

Рисунок 3.2. Поле внутри плоского конденсатора

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением, согласно теореме Гаусса

                                             .                                               (3.5)                                                    

Согласно принципу суперпозиции, напряженность  поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей  и  полей каждой из пластин:

                                                                                       (3.6)

Внутри конденсатора вектора  и  параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен

                                            .                                        (3.7)

Вне пластин вектора  и  направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора

                                                                                (3.8)

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

                                                                                                 (3.9)

из (3.9) можно получить единицы измерения : .

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы. Емкость цилиндрического конденсатора       Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R1 и R2 и длины L. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора, изображенного на рисунке 3.3,  может быть рассчитана по формуле                                                                                 (3.10) где  – линейная плотность заряда, R1 и R2 – радиусы цилиндрических обкладок, l – длина конденсатора, . Рисунок 3.3. Цилиндрический конденсатор Тогда, т. к. , получим                                           .                                            (3.11) Понятно, что зазор между обкладками мал:  т. е. . Тогда                                      .                                    (3.12) Емкость сферического конденсатора       Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R1 и R2 (рисунок 3.4). Рисунок 3.4. Сферический конденсатор Как известно, разность потенциала между обкладками равна                                                                          (3.13)                 Тогда, т. к. , получим                                           .                                           (3.14) Это емкость сферического конденсатора, где R1 и R2 – радиусы сфер. Если ; , – расстояние между обкладками. Тогда                                         .                                 (3.15)      Таким образом, емкость сферического конденсатора с достаточной степенью точности можно рассчитать так же, как и емкость плоского, и цилиндрического конденсаторов.     Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рисунок 3.5) напряжения на конденсаторах одинаковы: U1 = U2 = U, а заряды равны q1 = С1U и q2 = C2U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q1 + q2

при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует

                                       или .                          (3.16)

Для батареи конденсаторов (состоящей из n конденсаторов), при последовательном соединении, общая электроемкость имеет следующий вид:

.

Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

Рисунок 3.5. Параллельное соединение конденсаторов
Рисунок 3.6. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении (рисунок 3.6) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q₁ = q₂ = q, а напряжения на них равны  и . Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂. Следовательно,

                            или .                          (3.17)

 При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Для батареи конденсаторов (состоящей из n конденсаторов), при последовательном соединении, общая электроемкость будет иметь следующий вид:

.                                              (3.18)

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.

    Для измерения емкости используются различные методы. Наиболее распространенными являются метод измерения тока и напряжения, резонансный и мостовой метод.