ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1.Производная функции y = 2 x³ – 5 x² + 7 x – 4 равна
а) y¢ = 2 x² – 5 x + 7;

б) y¢ = 3 x³ – 2 x² + x;
в) y¢ = 6 x² – 10 x + 7;
г) y¢ = 6 x² – 10 x + 3.

2.Производная функции y = 7 x⁴  + 2 x³ – 11 x² +8 x + 2 равна
а) y¢ = 7 x³ + 2 x² –11 x + 8;

б) y¢ = 28 x³ + 6 x² –22 x + 10;
в) y¢ = 4 x³ + 3 x² – 2 x + 1;

г) y¢ = 28 x³ + 6 x² – 22 x + 8.

3.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = – ;

в) y¢ = – ;
г) y¢ = .

4.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = ;
в) y¢ = – ;

г) y¢ = .

5.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = 105;

в) y¢ = 7;
г) y¢ = .

6.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = – ;

б) y¢ = 6x;

в) y¢ = – ;
г) y¢ = .

7. Производная функции y = x² (2x – 1) равна
а) y¢ = 2 x + 2;

б) y¢ = 6 x² + 2 x;
в) y¢ = 6 x² – 2 x;

г) y¢ = 4 x.

8.  Производная функции y = (x³ + 3) (4x² – 5) равна
а) y¢ = 20 x⁴ – 15 x² + 24 x;

б) y¢ = 20 x⁴ – 15 x² + 24 x – 15;

в) y¢ = 24 x³;
г) y¢ = 4 x⁴ – 5 x² + 8 x.

9.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = ;

в) y¢ = – ;
г) y¢ = .

10.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = – ;

б) y¢ = ;
в) y¢ = ;

г) y¢ = – .

11.  Производная функции y = sin2x равна
а) y¢ =  cos2x;

б) y¢ = 2 cos2x;
в) y¢ = 2 cosx;

г) y¢ = cos2x.

12.  Производная функции y = cos3x равна
а) y¢ = – sin3x;

б) y¢ = –  sin3x;
в) y¢ = –3 sin3x;

г) y¢ = 3 cosx.

13.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = ;

в) y¢ = ;
г) y¢ = .

14.  Производная функции y =  равна
а) y¢ = ;

б) y¢ = – ;

в) y¢ = ;
г) y¢ = .

15. Уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой x = 4 имеет вид:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

16.  Уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой x = 0 имеет вид:
а) ;
б) ;
в) +1;
г) .

17. Вторая производная функции  равна
а) y¢¢ = cos x + 3 sin 3x;
б) y¢¢ = – sin x + 9 cos 3x;
в) y¢¢ = – sin x – 9 cos 3x;
г) y¢¢ = sin x + 9 cos 3x.

18. Вторая производная функции  равна
а) y¢¢ = ;
б) y¢¢ = ;
в) y¢¢ = ;
г) y¢¢ = .

19. Вторая производная функции  равна
а) y¢¢ = ;
б) y¢¢ = ;
в) y¢¢ = ;
г) y¢¢ = .

20.Укажите промежутки возрастания функции .
а) (– 2; 2);
б) (2; + ¥)
в) (– ¥; – 2) и (2; + ¥);
г) (– ¥; – 2).

21.Укажите промежутки возрастания функции .
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

22.Укажите промежутки убывания функции .
а) (– ¥; – 1) и (0; 1);
б) ;
в) ;
г) .

23.Укажите наибольшее значение функции  на отрезке

 [– 1; 5].
а) 266;
б) – 6;
в) 1;
г) 21.

24.Укажите наименьшее значение функции  на отрезке [– 2; 3].
а) 1;
б) 21;
в) 5;
г) – 2.

25.Укажите точки максимума функции .
а) х = 0;
б) х = – 1;
в) х = 2;
г) х = 1.

26.Укажите точки максимума функции .
а) х = 1;
б) х = – 1;
в) х = 0;
г) х = 2.

27.Укажите промежутки выпуклости графика функции .
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

28.Укажите промежутки вогнутости графика функции .
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

ТЕМА 8: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

1.  Неопределенный интеграл  равен
а) 5 x⁴ – 12 x² + 1 + c;

б)  – x⁴ +  – x + c;
в) 6 x⁶ – 16 x⁴ + 2 x² – x + c;

г)  + 4 x⁴ –  + x + c.

2.  Неопределенный интеграл  равен
а)  –  + c;

б) 2 x – 6 x² + c;
в)  + x – x² + c;

г) (x – x²) + c.

3.  Неопределенный интеграл  равен

а)  +  + с;

б)  +  + с;

в) x² –  + с;

г)  –  + с;

4.  Неопределенный интеграл  равен
а) 3 x² – 14 x + 5 + c;

б) 4 x⁴ – 21 x³ + 10 x² – 4 x + c;
в)  –  +  – 4x + c;

г)  +  –  + 4x + c.

5.  Неопределенный интеграл  равен
а) x² – 2x + c;

б) x² –  + c;
в) x² +  + c;

г) x² – 6x + c.

6.  Неопределенный интеграл  равен
а)  + c;

б) 5ln½x½ + x + c;
в)  + c;

г)  ln½x½ + c.

7.  Неопределенный интеграл  равен
а)  + x + c;

б) arctg  + c;
в) arctg  + c;

г)  + c.

8.  Неопределенный интеграл  равен
а)  + c;

б) 2 + c;
в) – arcsin  + c;

г) arcsin + c.

9.  Неопределенный интеграл  равен
а)  – sin7x + c;

б)  – cos7x + c;
в)  + cos7x + c;

г) 7 + 7cos7x + c;.

10.  Неопределенный интеграл  равен
а) tg 5x + c;

б)  + c;
в) tg 5x + c;

г)  + c.

11.  Неопределенный интеграл  равен
а) e^x – e^–2x + c;

б) e^x + e^–2x + c;
в) e^x – 2e^–2x + c;

г) e^x + 2e^–2x + c.

12.  Неопределенный интеграл  равен
а)  –  + c;

б) (x² – 1)⁴ + c;
в) (x² – 1)³ + 6x²(x² – 1)² + c;

г) (x² – 1)⁴ + c.

13.  Неопределенный интеграл  равен
а) ln½7x + 5½ + c;

б) 7ln½7x + 5½ + c;
в) ln½7x + 5½ + c;

г)  + c.

14.  Неопределенный интеграл  равен
а) ln½x + 2½ + c;

б) – 2ln½x + 2½+ c;
в) 1 –  + c;

г) x – 2ln½x + 2½ + c.

15.  Определенный интеграл  равен

а) ;

б) 1;

в) – 1;

г) .

16.  Определенный интеграл  равен

а) 0;

б) 2;

в) 2 ;

г) 3.

17.  Определенный интеграл  равен

а) – 1;

б) 3;

в) 4;

г) 4 .

18.  Определенный интеграл  равен

а) – ;

б) 0;

в) ln1;

г) ln2.

19.  Определенный интеграл  равен

а) 1;

б) e²;

в) ;

г) .

20. Определенный интеграл  равен

а) 0;

б) 1;

в) – 1;

г) 4.

21.  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  и у = 0.
а) ;

б) – ;
в) ;

г) 1.

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , , х = 0,

х = 1.
а) ;

б) – ;
в) ;

г) 1.

23. Найдите длину дуги кривой  от х = 0 до х = 5.
а) ;

б) – ;
в) ;

г) .

24. Найдите объем тела, образованного вращением эллипса  вокруг оси Ох.
а) ;

б) ;
в) ;

г) .

ТЕМА 9: РЯДЫ

1.Найдите сумму ряда 1 +  +  +  + ….

а) 1;

б) 1 ;

в) 2;

г) 2 .

2.Найдите сумму ряда 1 +  +  +  + ….

а) 2;

б) 1;

в) 0;

г) .

3.  Найдите сумму ряда 1 –  +  –  + ….

а) 0;

б) ;

в) ;

г) .

4.  Найдите сумму ряда  +  +  + ….

а) 0;

б) ;

в) ;

г) 1.

5.  Найдите сумму ряда  +  +  + ….

а) 0;

б) ;

в) ;

г) 1.

6.  Найдите сумму ряда .

а) 1;

б) ;

в) ;

г) 2.

7.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

8.Найдите сумму ряда .

а) ;

б) 1;

в) 0;

г) 2.

9.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10.Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) 1.

11.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

13.Найдите сумму ряда .

а) ;

б) 2;

в) 1;

г) .

14.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

15.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

16.  Найдите сумму ряда .

а) 1;

б) ;

в) ;

г) .

17.Найдите сумму ряда .

а) 1;

б) ;

в) ;

г) .

18.  Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) 1.

19. Найдите сумму ряда .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

20.  Укажите сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

21. Укажите сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

22. Укажите сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

23. Укажите сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

24. Укажите абсолютно сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

25. Укажите условно сходящиеся ряды.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

26. Радиус сходимости степенного ряда  равен
а) ;
б) ;
в) 0;
г) .

27. Радиус сходимости степенного ряда  равен
а) ;
б) ;
в) 0;
г) 1.

28. Радиус сходимости степенного ряда  равен
а) ;
б) ;
в) 0;
г) 1.

29. Радиус сходимости степенного ряда  равен
а) – 1;
б) ;
в) 0;
г) 1.

30. Радиус сходимости степенного ряда  равен
а) 3;
б) ;
в) 0;
г) .

31. Определите область сходимости степенного ряда .
а) ;
б) ;
в) ;
г) .

32. Определите область сходимости степенного ряда .
а) (– 2; 2);
б) [– 2; 2];
в) [– 2; 2);
г) (– 2; 2].

33. Определите область сходимости степенного ряда .
а) (– 1; 1);
б) [– 1; 1];
в) [– 1; 1);
г) (– 1; 1].

ТЕМА 10: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Частная производная  от функции  равна

а) 2 (х – у²);

б) y (3 y – 4 x);

в) 2 x – 4 y;

г) – 2 x + 3 y.

2.Частная производная  от функции  равна

а) cos (x + y);

б) – cos (x + y);

в) sin x;

г) cos y.

3.Частная производная  от функции  равна

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4.Найдите значения частных производных функции в точке М (3; 4).

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

5.Найдите производную , если , , .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6.Найдите производную , если , , .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7.Частная производная второго порядка  от функции  равна

а) 12 х² + 8 у³;

б) 24 х² у;

в) 24 х у² + 7;

г) – 7 – 24 х у².

8.Частная производная второго порядка  от функции  равна

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

9.Частная производная второго порядка  от функции  равна

а) 0;

б) х;

в) ;

г) .

10.Найдите повторный интеграл .

а) ;

б) ;

в) ;

г) 4.

11.Найдите повторный интеграл .

а) ;

б) 2;

в) ;

г) 1.

12.Найдите двойной интеграл , если 3 £ х £ 5, 0 £ у £ 1.

а) 4;

б) 8;

в) ;

г) – 4.

13.Найдите двойной интеграл , если 2 £ х £ 4, 0 £ у £ 1.

а) 2;

б) ;

в) ;

г) 1.

14.Найдите двойной интеграл , если 1 £ х £ 4, 1 £ у £ 3.

а) 3;

б) ;

в) 4;

г) – 4.

15.Найдите двойной интеграл , если 3 £ х £ 5, 0 £ у £ 2.

а) 20;

б) ;

в) 8;

г) .

16.Найдите двойной интеграл , если 2 £ х £ 3, 1 £ у £ 2.

а) 20;

б) ;

в) 4;

г) .

17.Найдите двойной интеграл , если 0 £ х £ 1, 0 £ у £ 1.

а) 1;

б) ;

в) – 1;

г) .

18.Найдите двойной интеграл , если 0 £ х £ 1, – 1 £ у £ 0.

а) 1;

б) 0;

в) е;

г) .

19.Найдите тройной интеграл  по области V, ограниченной поверхностями: х = 0, х = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

а) 1;

б) 2;

в) ;

г) .

20.Найдите тройной интеграл  по области V, ограниченной поверхностями: х = 0, y = 0, z = 0, х + y + z = 1.

а) 1;

б) 24;

в) ;

г) .

ТЕМА 11: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.Укажите, какое из следующих уравнений является дифференциальным.
а) y¢ = x е ^у;
б) y = 2x² – 5x + 7;
в) y = x² + С х;
г) ln  = 1 + C y.

2.Укажите, какое из следующих уравнений является дифференциальным.
а) y¢ – tg x × y = 0;
б) C y = (x² + y²)¢;
в) y = sin C x;
г) y = x³ + x² + 5.

3.Укажите обыкновенные дифференциальные уравнения.
а) y¢ = х² – у²;
б) ;
в) у² = х² + ln у;
г) .

4.Укажите обыкновенные дифференциальные уравнения.
а) y¢ = х³ + ln у;
б) ;
в) у² = х² + е ^х;
г) .

5.Укажите дифференциальное уравнение в частных производных.
а) ;
б) ;
в) y¢ = х²у;
г) х y¢¢¢ – у = х⁴ у².

6.Укажите дифференциальное уравнение в частных производных.
а) ;
б) y¢ х + у = – х у²;
в) y¢ = х² + у²;
г) х y¢ + у =  у² ln х.

7.Укажите уравнение в полных дифференциалах.
а) (х + у + 1) dx + (x – y² + 3) dy = 0;
б) х у dx + х² у² dy = 0;
в) х² dy – у² dx = 0;
г) (х + у + 1) dx – (x – y² + 3) dy = 0.

8.Укажите уравнение в полных дифференциалах.
а)  dx + (1 – x ) dy = 0;
б) х y¢ + 2 у x = 0;
в)  dx – (1 – x ) dy = 0;
г) ) х y¢ – 2 у x = 0.

9.Найдите общее решение ДУ y – x×y¢ = 1 + x²×y¢ с разделяющимися переменными:

а) y =  + 1;

б) y =  + С;

в) y =  + С;

г) y =  – 1.

10.  Найдите общее решение ДУ y¢ = x×(1 + y²) с разделяющимися переменными:

а) y =  + C;

б) arctg y =  + C;

в) arctg y =  – C;

г) 1 + y =  + C.

11.  Найдите общее решение ДУ y¢×ctg x + y =2 с разделяющимися переменными:

а) y = C cos x+2;

б) y = C ctg x+2;

в) y = C tg x+2;

г) y = C sin x +2.

12. Найдите общее решение ДУ y y¢+ х = 0 с разделяющимися переменными:

а)

б) ;

в) ;

г) .

13. Найдите общее решение ДУ y¢×tg x – y = 1 с разделяющимися переменными:

а) ;

б) ;

в) y = C ctg x + 1;

г) y = C tg x + 1.

14. Найдите общее решение ДУ y¢×sin² x = y с разделяющимися переменными:

а) ;

б) ;

в) y = – ctg x + C;

г) y = ln (ctg x)+ C.

15. Найдите общее решение ДУ 2 dx = dy с разделяющимися переменными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

16. Найдите общее решение ДУ x y¢ – y= 0 с разделяющимися переменными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

17. Найдите общее решение ЛДУ первого порядка y¢– y = е ^х:

а) y = (x + C) e ^x;

б) y = x + C e ^x;

в) y = x + 2 e ^x;

г) y = x e ^x.

18. Найдите общее решение ЛДУ первого порядка y¢= х + y:

а) y = C e ^x – x – 1;

б) y = C e ^x + x – 1;

в) y = C e ^x – x e ^x – 1;

г) y = e ^x – x – 1.

19. Найдите общее решение ЛДУ первого порядка x y¢+ y = 3:

а) y = 3 + ;

б) y = 3 + C x;

в) y = 3 – ;

г) y = 3 +  e ^x .

20. Найдите общее решение ЛДУ первого порядка x y¢+ y = e ^x:

а) y = ;

б) y = ;

в) y = ;

г) y =  e ^x .

ТЕМА 12:ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Укажите неверное утверждение:

а) вероятность любого события заключена между 0 и 1;

б) вероятность достоверного события равна 1;

в) вероятность невозможного события равна 0;

г) вероятность невозможного события равна 1.

2. Если m — число случаев, благоприятствующих событию А, n — общее число случаев, то вероятность события А равна:

а) m × n;                                                б) ;

в) m + n;                                               г) n – m.

3. Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости?

а) ;                                                     б) ;

в) ;                                                     г) 1.

4. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков при бросании игральной кости?

а) ;                                                     б) ;

в) ;                                                     г) 1.

5. Какова вероятность выпадения пяти очков при бросании игральной кости?

а) ;                                                     б) ;

в) ;                                                     г) 1.

6. Какова вероятность выпадения не более четырех очков при бросании игральной кости?