ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точки C(0; 1) и D(– 2; 0).
   а) 2у – x – 2 = 0;

б) 5х – 3у + 3 = 0;        

в) у – 2х = 0;

г) 3х + у + 6 = 0.

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 1) и имеющую угловой коэффициент k = 1.
   а) у = 1 – х;

б) у = х;

в) у = х+2;

г) у = 2х – 1.

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку А(3; – 2) и имеющую угловой коэффициент k = – 1.
   а) у = х;

б) ;

в) у = x – 5;

г) у = 1 – х.

1. Укажите прямую, параллельную прямой 2х + 3у – 7 = 0.
   а) 3х + 2у – 7 = 0;

б) x + 3у – 2 = 0;

в) 2х – у – 7 = 0;

г) 2х + 3у + 9 = 0.

1. Укажите прямую, не параллельную прямой у = 2х + 3.
   а) 4у = 8х + 1;

б) у = 2х – 4;

в) 2у = 4х – 5;

г) у = 3х – 3.

1. Укажите прямую, перпендикулярную прямой 3х – у – 3 = 0.
   а) x + 3у – 17 = 0;

б) 2х – у + 4 = 0;

в) x – 3у + 2 = 0;

г) x + у = 0.

1. Укажите прямую, не перпендикулярную прямой 2х + 5у – 6 = 0.
   а) 5х – 2у + 3 = 0;

б) 5х + 2у – 1 = 0;

в) 10х – 4у – 7=0;

г) 15х – 6у + 11 = 0.

1. Укажите точку, лежащую на прямой у = 8х – 6.
   а) (1; 3);

б) (0; 6);

в) (– 1; – 14);

г) (2; 9).

1. Укажите точку, не лежащую на прямой у = x + 4.
   а) (0; 4);

б) (2; 6);

в) (– 4; 2);

г) (– 8; 0).

1. Найдите координаты точки пересечения прямой 4х – 3у – 10 = 0 с осью абсцисс.
   а) ;

б) ;

в) (0; 0);

г) (– 2; 0).

1. Найдите координаты точки, пересечения прямой 2х + 3у – 4 = 0 с осью ординат.
   а) (2; 0);

б) ;

в) (0; 0);

г) (– 1; 2).

1. Найдите координаты точки пересечения прямых у = 6х – 5 и у = x + 7.
   а) (0;– 5);

б) (1; 1);

в) ( 2,4; 9,4);

г) ( 1,5; 4).

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 3) и параллельной прямой у = 2х + 5.
   а) у = x + 1;

б) у = 2х – 3;

в) у = 3х + 2;

г) у = 2х – 1.

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку В(– 1; 5) и параллельной прямой у = 7х – 1.
   а) у = 7х + 12;

б) у = 4 –x;

в) у = 3х + 8;

г) у = 7х + 4.

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку В(– 3; 2) и перпендикулярной прямой 7х + 4у – 11 = 0.
   а) 2х – 3у + 12=0;

б) 4х – 7у + 26 = 0;

в) 4х – 7у + 11 = 0;

г) 2у – 3х = 0.

1. Укажите уравнение прямой, проходящей через точку В(– 1, 4) и перпендикулярной прямой 5х – 3у + 4 = 0.
   а) 5х – 3у + 17 = 0;

б) у – 4х = 0;

в) 3х + 5у – 17 = 0;

г) 3х + 5у + 2 = 0.

1.  Прямая задана уравнением 2х – 4у + 3 = 0. Укажите координаты нормального вектора этой прямой.
   а) (2; 3);
   б) (2; 4);
   в) (4; 3);
   г) (2; – 4).

1.  Прямая задана уравнением – 2х +5у –8 = 0. Укажите координаты нормального вектора этой прямой.
   а) (– 2; 5);
   б) (5; – 8);
   в) (– 5; – 2);
   г) (5; – 8).
2. Прямая задана уравнением – 3х +8у – 1 = 0. Укажите координаты направляющего вектора этой прямой.
   а) (– 3; 8);
   б) (– 8; – 3);
   в) (3; – 8);
   г) (– 3; – 1).
3. Прямая задана уравнением 5х +6у – 2 = 0. Укажите координаты направляющего вектора этой прямой.
   а) (5; – 6);
   б) (5; 6);
   в) (– 6; 5);
   г) (2; – 6).

1. Найдите расстояние от точки М(– 6; 3) до прямой 3х – 4у + 15 = 0.
   а) 3;

б) 4;

в) 5;

г) 1.

1. Найдите расстояние от точки N(– 2; – 1) до прямой 12х + 5у + 3 = 0.
   а) 4;

б) 3;

в) 2;

г) 1.

1. Угол между прямыми x – 2у – 2 = 0 и у = x + 3 равен:
   а) 0°;

б) ;

в) ;

г) .

1. Уравнение прямой, проходящей через две точки А₁ (х₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) имеет вид:
   а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .

1.  Уравнение прямой с направляющим вектором (m; n), проходящей через точку М (x₀; y₀) имеет вид:
   а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .
2.  Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x₀; y₀) с данным угловым коэффициентом k имеет вид:
   a) y – y₀ = k (x – x₀);
   б) y = k x + b;
   в) y + y₀ = k (x + x₀);
   г) y = k (x – x₀) – y₀.
   
   
3. Уравнение плоскости по точке М₀ (x₀, y₀, z₀) и нормальному вектору  = (A, B, C) записывается следующим образом:
   а)  +  +  = 1;

б) Ax₀ + By₀ + Cz₀ = 0;

в)  = 0;

г) A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

1. Уравнение плоскости «в отрезках», где a, b и c – отличные от нуля отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат, записывается следующим образом:
   а)  +  +  = 1;

б) Ax + By + Cz = 0;

в)  = 0;

г)  +  +  = 0.

1. Уравнение плоскости по трем точкам М₁ (x₁, y₁, z₁), М₂ (x₂, y₂, z₂), М₃ (x₃, y₃, z₃) записывается следующим образом:

а) A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0;

б)  +  +  = 1;

в)  = 0;

г) Ax + By + Cz + D = 0.

1. Укажите точку, принадлежащую плоскости 3x – 5y + 2z – 17 = 0:

а) (4; 1; 2);

б) (2; – 1; 3);

в) (7; 1; 2);

г) (0; – 4; 2).

1. Укажите точку, принадлежащую плоскости x – 3y + 4z – 5 = 0:

а) (– 2; – 1; 1);

б) (0; 3; 2);

в) (7; 1; – 1);

г) (4; 2; 2).

1. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (1; – 5; 6) перпендикулярно вектору  = (4; 2; – 3):

а) 5x – 3y + 3z = 0;

б) 4x + 2y – 3z + 2 = 0;

в) 4x + 2y – 3z + 24 = 0;

г) 3x + 7y – 9z = 0.

1. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2; 3; 5) перпендикулярно вектору  = (1; – 4; 7):

а) x – 4y + 7z + 20 = 0;

б) 2x + 3y + 5z – 24 = 0;

в) x – 4y + 7z – 25 = 0;

г) x – 4y + 7z = 0.

1. Даны точки М₁(0; – 1; 3) и М₂(1; 3; 5). Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

а) x + 3y + 5z + 12 = 0;

б) x + 4y + 2z – 2 = 0;

в) – y + 3z – 10 = 0;

г) x + 4y + 2z = 0.

1. Даны точки М₁(4; 2; 1) и М₂(6; 12; – 3). Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

а) 2x + 10y – 4z – 24 = 0;

б) 2x + 10y – 4z = 0;

в) 4x + 2y + z = 0;

г) 6x + 12y – 3z = 0.

1. Укажите уравнение плоскости, проходящей через точки А(7; 6; 7), В(5; 10; 5) и С(– 1; 8; 9):

а) 4x + 18y + 14z = 0;

б) 6x + 2y – 4z = 0;

в) 3x + 5y + 7z = 100;

г) 6x + 12y – 3z = 25.

1. Найдите расстояние от точки А(5; 1; – 1) до плоскости x – 2y – 2z + 4 = 0:

а) 1;

б) 1,5;

в) 2;

г) 3.

1. Найдите расстояние от точки А(1; 2; 3) до плоскости 2x – 2y + z – 3 = 0:

а) 1;

б) ;

в) ;

г) 2.

1. Угол между плоскостями 2х + 3y – 2z – 4= 0 и 13x – 8у + z + 44 = 0 равен:
   а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1. Угол между плоскостями 3х + 2y – 7z +8 = 0 и 3x + 2у – 7z + 32 = 0 равен:
   а) 60°;

б) 45°;

в) 30°;

г) 0°.

ТЕМА 4: МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.  Найдите сумму матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.  Найдите сумму матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3.  Найдите сумму матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4.  Найдите матрицу 3×А, если А = :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5.  Найдите матрицу (–2)×В, если В = :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6.  Найдите матрицу А + 2В, если А = , В = .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7.  Найдите матрицу 4А – В, если А = , В = .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

8.  Найдите произведение матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

9.  Найдите произведение матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10.  Найдите произведение матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11.  Укажите матрицу, обратную матрице :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12.  Для матрицы  минор М₃₃ равен:

а) 28;

б) 14;

в) 12;

г) – 48.

13.  Для матрицы  минор М₁₂ равен:

а) – 42;

б) 3;

в) 21;

г) – 5.

14.  Для матрицы  минор М₂₂ равен:

а) 8;

б) – 1;

в) 18;

г) 12.

15.  Для матрицы  алгебраическое дополнение А₁₁ равно:

а) – 3;

б) 1;

в) 3;

г) 0.

16.  Для матрицы  алгебраическое дополнение А₁₃ равно:

а) – 2;

б) 30;

в) 12;

г) –30.

17.  Для матрицы  алгебраическое дополнение А₂₁ равно:

а) 2;

б) – 2;

в) – 7;

г) 0.

18.  Определитель матрицы  равен:

а) 9;

б) – 26;

в) 22;

г) 0.

19.  Определитель матрицы  равен:

а) 15;

б) 93;

в) 42;

г) 54.

20.  Определитель матрицы  равен:

а) – 76;

б) – 40;

в) 12;

г) 25.

21.  Определитель матрицы  равен:

а) 0;

б) 2;

в) – 8;

г) – 1.

22.  Определитель матрицы  равен:

а) – 22;

б) – 10;

в) 0;

г) 4.

23.  Для матрицы А =  укажите А^т:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

24.  Для матрицы А =  укажите А^т:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

25.  Найдите разность матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

26.  Найдите разность матриц  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

27.  Укажите строчную матрицу:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

28.  Укажите столбцовую матрицу:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

29.  Укажите порядок квадратной матрицы :

а) 0;

б) 1;

в) 2;

г) 3.

30.  Укажите порядок квадратной матрицы :

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

31.  Укажите верное утверждение:

а) единичной называется квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1;

б) диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 0;

в) нуль-матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю;

г) квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размером n ´ 2.

32.  Определитель матрицы  равен:

а) а₁₁×а₁₂×а₂₁×а₂₂;

б) а₁₁×а₁₂ + а₂₁×а₂₂;

в) а₁₁×а₁₂ – а₂₁×а₂₂;

г) а₁₁×а₂₂ – а₁₂×а₂₁;

33.  По правилу Саррюса определитель матрицы  вычисляется следующим образом:

а) а₁₁×а₂₂×а₃₃ + а₁₃×а₂₁×а₃₂ + а₁₂×а₂₃×а₃₁ – а₁₃×а₂₂×а₃₁ – а₁₁×а₂₃×а₃₂ – а₁₂×а₂₁×а₃₃;

б) а₁₁×а₂₂×а₃₃ + а₁₃×а₂₁×а₃₂ – а₁₂×а₂₃×а₃₁ + а₁₃×а₂₂×а₃₁ – а₁₁×а₂₃×а₃₂ + а₁₂×а₂₁×а₃₃;

в) а₁₁×а₁₂×а₁₃ + а₂₁×а₂₂×а₂₃ + а₃₁×а₃₂×а₃₃ – а₁₁×а₂₁×а₃₁ – а₁₂×а₂₂×а₃₂ – а₁₃×а₂₃×а₃₃;

г) а₁₁×а₂₂×а₃₃ – а₁₃×а₂₂×а_31.

34.  Укажите неверное утверждение:

а) при транспонировании матрицы определитель не меняется;

б) общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя;

в) при перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак;

г) определитель, у которого две строки (столбца) пропорциональны, равен 1.

35.  С помощью алгебраических дополнений определитель матрицы  можно вычислить следующим образом:

а) а₁₁×А₁₁ – а₁₂×А₁₂ – а₁₃×А₁₃;

б) А₁₁ + А₁₂ + А₁₃;

в) а₁₁×А₁₁ + а₁₂×А₁₂ + а₁₃×А₁₃;

г) а₁₁×А₃₃ – а₂₂×А₂₂ – а₃₃×А₁₁.

36.  Минором М_ij элемента а_ij матрицы А называется:

а) произведение определителя матрицы А и элемента а_ij;

б) определитель матрицы, полученный из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-того столбца;

в) элемент а_ij, взятый со знаком (– 1)^{i + j};

г) определитель матрицы А, взятый со знаком (– 1)^{i + j}.

37. Ранг матрицы  равен

а) 2;

б) 3;

в) 1;

г) 4.

38.Ранг матрицы  равен

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4.

ТЕМА 5:СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Укажите матрицу, соответствующую системе линейных уравнений

а) ;                                     б) ;

в) ;                                     г) .

1. Укажите матрицу, соответствующую системе линейных уравнений
   а) ;                                  б) ;
   в) ;                             г) .
2. Укажите однородную систему линейных уравнений:

а)                             б)

в)                                г)

1. Элементарным преобразованием системы линейных уравнений не является:

а) умножение одного из уравнений системы на число, отличное от нуля;

б) деление одного из уравнений системы на число, отличное от нуля;

в) умножение одного из уравнений системы на любое число;

г) почленное прибавление к одному из уравнений системы другого уравнения системы.

1. Решением уравнения a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ¼ + a_nx_n = b называют:
   а) упорядоченный набор из n чисел (a₁, a₂, ¼, a_n), которые при подстановке вместо соответсвующих переменных обращают уравнение в верное числовое равенство;
   б) набор из n чисел (a₁, a₂, ¼, a_n), которые при подстановке обращают уравнение в тождество;
   в) совокупность чисел x₁ = a₁, x₂ = a₂, ¼, x_n = a_n, которые обращают уравнение в нуль;
   г) совокупность чисел x₁ = a₁, x₂ = a₂, ¼, x_n = a_n, для которых

a₁a₁ + a₂a₂ + a₃a₃ + ¼ + a_na_n = 0.

1. Укажите неверное утверждение:
   а) линейное уравнение, не имеющее решений, называется противоречивым;
   б) система, не имеющая решений, называется совместной;
   в) уравнение, которому удовлетворяет любая n-ка чисел называется тождественным;
   г) решение системы линейных уравнений — упорядочненный набор чисел, являющийся решением каждого уравнения системы.
2. Укажите решение системы

а) (– 1; 1);

б) (– 7; 5);

в) (0; 0,8);

г) (1; 1).

1. Укажите решение системы

а) (3; 6);

б) (2; 1);

в) (7; 4);

г) (15; 0).

1. Укажите решение системы

а) (0; 1; 0);

б) (1; 2);

в) (3; 0; 2);

г) (1; 2; 3).

1. Укажите решение системы

а) ;

б) (2; 2; 1);

в) (2; 1; 0);

г) (0; 1; 0).

1. Укажите набор, не являющийся решением системы

а) (4; 6; 8);

б) (2; 1; 1);

в) (4; 5; 7);

г) (4; 3; 5).

1. Если (1; 3; – 1) — решение системы  то х₁ + х₂ + х₃ равно

а) – 3;

б) 3;

в) 5;

г) 1.

1. Если (4; – 2) — решение системы , то 3 х₁ – х₂ равно

а) 14;

б) 10;

в) 6;

г) 0.

1. Если (1; – 1) — решение системы , то х₁ × х₂ равно

а) 1;

б) – 1;

в) 2;

г) 0.

1. Если (0; 10; – 1) — решение системы  то х₁ х₂ + х₃ равно

а) – 1;

б) 0;

в) 9;

г) – 10.

1. Если (– 1; 5; – 6) — решение системы  то х₁ + х₂ – 2 х₃ равно

а) 16;

б) 10;

в) – 8;

г) 12.

1. Если (– 1; 4; 1) — решение системы  то х₁ – 3 х₂ + х₃ равно

а) – 12;

б) 14;

в) 10;

г) 12.

1. Укажите набор, не являющийся решением системы
   а) (1; 2; 4);

б) (2; 4; 8);

в) (0; 1; 1);

г) (0; 0; 0).

ТЕМА 6: ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.  Найдите область определения функции y = 3 .
а) R;

б) (– ¥; 2];

в) [– 2; 2];

г) (2; + ¥).

2.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) (– 6; 6);

в) (– ¥; 6);

г) [– 6; 6].

3.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) [3; 7);

в) (3; 7);

г) (– ¥; 7) È [3; + ¥).

4.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) [5; 8];

в) (– 8; 5);

г) [– 8; 5].

5.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) [– 12; 7];

в) (7; 12);

г) [– 12; 7].

6.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) (– ¥; 2);

в) (– 2; 2);

г) (– ¥; 2) È (2; + ¥).

7.  Найдите область определения функции y = x³ + 6x² + 8x.
а) R;

б) [– 4; – 2];

в) [– 4; – 2] È [0; + ¥);

г) (– ¥; 0) È (0; + ¥).

8.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) (– 4; – 2);

в) (– ¥; – 4) È (– 4; – 2) È (– 2; + ¥);

г) (– ¥; – 4) È (– 2; + ¥).

9.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) (– ¥; – 1) È (– 1; 1) È (1; + ¥);
в) (– 1; 1) È (1; 6);

г) (1; + ¥).

10.  Найдите область определения функции y = .
а) R;

б) ;

в) ;

г) .

11.  равен
а) 0;

б) 1;

в) 2;

г) 4.

12.  равен
а) – 1;

б) 0;

в) 1;

г) 3.

13.  равен
а) 0;

б) – 1;

в) 1;

г) – 3.

14.  равен
а) – 1;

б) 0;

в) 1;

г) 2.

15.  равен
а) 0;

б) 1;

в) 2;

г) 3.

16.  равен
а) – 2;

б) 0;

в) 4;

г) 2.

17.  равен
а) – 2;

б) 0;

в) 1;

г) .

18.  равен
а) – 1;

б) 0;

в) ;

г) .

19.  равен
а) – ;

б) 0;

в) ;

г) .

20.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) 1;

г) .

21.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) 2;

г) .

22.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) 1;

г) – 3x.

23.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) 3;

г) – 8.

24.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) 1;

г) .

25.  равен
а) ¥;

б) 0;

в) ;

г) – 1.

26.  равен
а) ¥;

б) – 2;

в) 1;

г) 2.

27. Укажите сходящуюся последовательность с общим членом х_n:
a) ;
б) ;
в) ;
г) .

28.Укажите расходящуюся последовательность с общим членом а_n:
a) ;
б) ;
в) ;
г) .

29.  равен
а) ;
б) ;
в) 0;
г) .

30.  равен
а) 10;
б) ;
в) 0;
г) .

31.  равен
а) ;
б) ;
в) ;
г) 0.

32.  равен
а) ;
б) 0;
в) 1;
г) .

33.  равен
а) 0;
б) ;
в) 3;
г) .

ТЕМА 7:ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ.