Тема 2. Гидро и Гемодинамика

Гидродинамика – раздел механики, изучающий движение жидкостей («гидро» - вода).

Гемодинамика – раздел биофизики, в котором законы гидродинамики используют для описания движения крови в сердечно-сосудистой системе («гема» - кровь).

В гидродинамике рассматривают идеальную и реальную жидкости.

Идеальная жидкость – это физическая абстракция. Она текуча, абсолютно несжимаема и в ней нет сил внутреннего трения (вязкости.) Из реальных жидкостей близкими к идеальной являются вода, ацетон, спирт, эфир.

Для идеальной жидкости справедливы уравнения неразрывности потока и уравнение Бернулли.

Объём жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы S в единицу времени, называют объёмным расходом Q.

,

где  - скорость течения жидкости. Единица измерения 1 м³/с.

 Поскольку идеальная жидкость текуча и абсолютно несжимаема, то через любое поперечное сечение трубы (если она переменного сечения) в 1 секунду будет протекать одинаковый объём жидкости (одинаковый расход), т.е. поток не разрывается. Уравнение неразрывности потока имеет вид:

или

Это означает, что в узких местах трубы жидкость течёт быстрее, а в широких медленнее.

 Для идеальной жидкости, текущей по наклонной трубе переменного сечения, справедлив закон Бернулли. Он имеет вид:

Здесь Р₁ и Р₂ – внешние давления.

 и - весовые или гидростатические давления, обусловленные уровнями жидкости  и  относительно нулевого уровня (например, уровня Земли); - плотность жидкости.

и - динамические давления в разных сечениях трубы.

 , - скорости течения.

Уравнение Бернулли является законом сохранения энергии для единичного объёма идеальной жидкости.

В медицине уравнение Бернулли и уравнение неразрывности используют в работе пульверизаторов, ингаляторов, водоструйных насосов для откачивания жидкости из плевры при лёгочных заболеваниях.

В реальной жидкости есть силы вязкого трения, обусловленные силами сцепления молекул. Поэтому реальные жидкости называют вязкими жидкостями. Вязкие жидкости делятся на ньютоновские и неньютоновские. Между слоями, текущими с разными скоростями, возникает сила вязкого трения или сила Ньютона:

,

где - коэффициент динамической вязкости,

- градиент скорости, который означает изменение скорости при переходе от одного текущего слоя к другому из-за сил сцепления молекул.

S – площадь соприкасающихся слоёв. Знак «минус» означает, что быстрые слои жидкости будут замедляться.

В системе СИ единица динамической вязкости 1Па ^. с.

У ньютоновских жидкостей коэффициент динамической вязкости η зависит от рода жидкости и температуры.

Ньютоновские жидкости – это вода и её растворы, этиловый спирт, ацетон.

У неньютоновских коэффициент вязкости  η зависит от рода жидкости температуры, давления и градиента скорости течения.

Неньютоновские жидкости: суспензии, эмульсии, высокомолекулярные органические соединения. Кровь не является идеальной жидкостью. Кровь- это непрозрачная вязкая суспензия, состоящая из жидкой части (плазмы) и взвешенных в ней кровяных клеток (форменных элементов): эритроцитов, лейкоцитов, тромбоцитов и др. При движении крови по сосудам эти клетки скапливаются по оси потока. От этого вязкость потока неодинакова. Следовательно, кровь - неньютоновская жидкость и законы гидродинамики для неё приблизительны и применяются с оговорками.

При течении вязкой жидкости часть её энергии расходуется на преодоление сил вязкого трения и превращается во внутреннюю энергию жидкости и окружающих тел. Поэтому уравнение Бернулли для вязкой жидкости не выполняется. Левые и правые части его не равны. Разность левой и правой частей означает изменение энергии, т.е. работу по перемещению единичного объёма жидкости:

 или                

Воспользовавшись этим выражением, найдём работу сердечной мышцы за одно сокращение. Фаза сокращения сердца называется систолой, а фаза расслабления – диастолой. При каждом сокращении сердечной мышцы выбрасывается объём крови V. Обозначим Р₁ – систолическое давление, Р₂ – диастолическое.

Р₁- Р₂= ∆Р.

Аорта и полая вена находятся на одном уровне, т.е. h₁= h₂ и (h₁- h₂)=0. Скорость крови в аорте значительно больше, чем в полой вене >> . Скоростью  пренебрегаем. С учётом этих допущений, получаем работу сердечной мышцы за одно сокращение:

Или                        

Течение вязкой жидкости бывает двух видов: ламинарное и турбулентное.

Ламинарное течение – слоистое, причём слои не перемешиваются. Это течение тихое, спокойное.

Турбулентное течение – бурное, вихревое с перемешиванием слоёв.

Вид течения характеризует число Рейнольдса R_е. Оно не имеет размерности. Для жидкости плотностью ρ, текущей со скоростью по трубе круглого сечения, число Рейнольдса

,

где D- диаметр трубы, η- коэффициент динамической вязкости жидкости.

Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении критического числа Рейнольдса R_{е кр}

Для вязкой жидкости, текущей по трубе круглого сечения критическое число Рейнольдса

R_{е кр}=2300

Если R_е< R_{е кр}, то течение ламинарное. Если же R_е> R_{е кр} то оно турбулентное. При спазмах сосудов течение крови становится турбулентным из-за резкого снижения просвета сосуда.

Вязкая жидкость течёт в результате перепада давления на концах отрезка трубы длиной L.                         

Из-за трения давление вдоль трубы падает.

Объёмный расход вязкой жидкости определяют по формуле закона Гагена-Пуазейля:                      ,

где L –длина трубы, r - радиус сечения трубы, η- коэффициент динамической вязкости жидкости.

По формуле закона Гагена-Пуазейля рассчитывают скорость фильтрации.

 Фильтрация – это перенос жидкостей через поры клеточных мембран или стенок кровеносных сосудов под действием гидростатического и осмотического давлений. Например, в участках артерий вода из плазмы крови поступает в лимфу и соединительную ткань. В венозных участках наоборот. У здоровых людей оба процесса уравновешены. У больных гипертонией под действием повышенного давления вода поступает в ткани и развивается отёк.

Благодаря сокращениям сердца и пульсации эластичных сосудов поток крови не разрывается. . Суммарная площадь поперечного сечения всех капилляров значительно больше площади просвета артерии или аорты. Поэтому скорость течения крови по капиллярам меньше, чем в крупных сосудах. Например, скорость крови в капиллярах 0,05см/с, в артерии 16,8см/с, в аорте 50 см/с.

    На всякое тело, движущееся в вязкой жидкости, действует сила вязкого трения. Молекулы жидкости обволакивают движущееся тело, тормозя его движение.

На этом основан метод измерения коэффициента вязкости жидкости η.

Рассмотрим метод Стокса. В цилиндр, наполненный вязкой жидкостью, бросают маленькие свинцовые шарики и измеряют время t их равномерного движения на некотором участке пути .

На шарик действуют три силы: 1) сила тяжести  вниз, 2) сила Архимеда вверх, 3) сила трения Стокса вверх (т.е. против скорости движения).

Условие равномерного движения шарика:

Если диаметр шарика d, то объём его , масса шарика   

где  - плотность материала шарика.

    Сила Архимеда           

Здесь  - плотность вязкой жидкости, .

Сила Стокса                            ,

где -скорость движения шарика

Следовательно,              

Отсюда                                        

Метод Стокса используют в метеорологии, в коллоидной химии, биологии. Его также используют в медицине для приближённого определения вязкости плазмы по скорости оседания эритроцитов (СОЭ).

    Для определения СОЭ в кровь, взятую на анализ, добавляют антикоагулянт (против свёртывания). Затем её помещают в вертикальную стеклянную трубку и включают часы.

Когда эритроциты соберутся на дне пробирки, часы выключают. Зная время и длину пробирки, находят СОЭ . При этом эритроциты считают шариками, хотя они не шарики, а вогнутые диски. Коэффициент вязкости плазмы получается меньше реального, т.к. эритроциты склеиваются в «монетные столбики». СОЭ используют для диагностики многих

заболеваний.

Контрольные вопросы

1. Что изучают гидро и гемодинамика?

2. Какая жидкость называется идеальной? Какие уравнения справедливы для идеальной жидкости?

3.  Что называют объемным расходом жидкости? Запишите и поясните уравнение неразрывности потока.

4. Запишите и поясните уравнение Бернулли. Какой физический закон оно отражает? Где применяется в медицине?

5. Запишите формулу силы вязкого трения Ньютона и поясните все буквы. Что означает градиент скорости? От чего зависит коэффициент вязкости для ньютоновских и неньютоновских жидкостей?

6. Дайте характеристику крови. Какая это жидкость?

7. Как найти работу по перемещению единичного объёма вязкой жидкости?

8. Как найти работу сердечной мышцы за одно сокращение?

9. Виды течения вязкой жидкости. Что характеризует число Рейнольдса (формула) и критическое число Рейнольдса?

10. Формула закона Гагена-Пуазейля. Поясните все буквы. Что такое фильтрация? Примеры.

11.  Выведите формулу для определения коэффициента вязкости жидкости по методу Стокса. Где используют этот метод?