Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

Элементы комбинаторики

1. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них -- 1-го сорта, 120 -- 2-го, а остальные -- 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

2. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

3. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

4. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

 
Непосредственное вычисление вероятностей

6. Буквы Т, Я, О, И, Р, Е написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) 3 карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) ТОР; б) ТЕОРИЯ?

7. Какова вероятность, переставляя карточки с написанными на них буквами С, А, А, А Н, Н, получить слово АНАНАС.

8. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента -- разрядники?

9. В лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут а) на 6-м этаже; б) на одном этаже?

10. В программе, написанной в Turbo Pascal, использовалась функция Random(x), генерирующая случайные числа от 1 до х. Какова вероятность, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если х =100?

Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей

11. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй -- 0,9; третий -- 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

12. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго -- 0,7, для третьего -- 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени 3 пробоины?

13. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3-х задач. Для получения положительной оценки достаточно решить 2. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только один правильный. Студент Полежайкин плохо знает материал и поэтому выбирает ответы наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

14. Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов -- по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?

15. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

16. Первый студент опаздывает в среднем 2 раза в неделю, второй 3 раза. Найти вероятности следующих событий: в какой-нибудь день А - опоздают оба, В - опоздает ровно один, С - не опоздает ни один, D - опоздает хотя бы один.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

17. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. 1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

18. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она не стандартна. Определить вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль; 2) изделие стандартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прошло упрощенный контроль.

19. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго -- 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?

20. Для передачи некоторой информации можно воспользоваться одним из трёх способов передачи с вероятностью 0,4; 0,2; 0,4. Надёжность каждого из способов передачи 0,9; 0,8; 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что информация достигнет цели?

21. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равно 0,01; второй – 0.02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

22. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела – 0.7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произвел один выстрел из наудачу взятой винтовки.

23. Четыре пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект. Первый с вероятностью успеха – 0,3; второй – 0,4; третий – 0,55; четвёртый – 0,2. Найти вероятность запеленговать объект, если выбор пеленгатора осуществляется случайным образом. (т.к. всего четыре гипотезы и они равновероятны, а сумма вероятностей гипотез равна единице, то P(B₁)= P(B₂)= P(B₃)= P(B₄)=1/4 ).

Формула Бернулли

24. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность возможного числа появления бракованных деталей среди 5-ти отобранных.

25. По данным предыдущей задачи найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5-ти отобранных и вероятность этого числа.

26. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

27. Известно, что в среднем 60% всего числа изготавливаемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии из 10 аппаратов окажется: а) 6 аппаратов первого сорта? б) не более 8-ми аппаратов г) не менее 3-х ?.

Формула Пуассона

28. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

29. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

30. В некоторой местности на каждых 100 семей 80 имеют автомобиль. Найти вероятность того, что: а) из 400 семей 300 имеют автомобиль; б) от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобиль; в) от 280 до 360 семей из 400 имеют автомобиль.

31. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

32. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

33. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Случайные величины

35. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х - числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

36. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если: 5) число вызовов не более 5; б) число вызовов не ограничено. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

37. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.