П/к языков, его замкнутость.

Фор-ка:АлгебраL(V)=(2^V*,È,*,Æ, есть замкнутое п/к.Док-во:проверка аксиом п/к сводится к док-ву:1)того,что операция объединения множества всех языков образует коммут и идемпотентный моноид.2)того,что по операции мн-во языков образует моноид. Для этого дост. Доказать,что операция соединения языков ассоциативна ,а так же док-ть для "L тож-во : L=L =L,что вытекает из ассоциативности операции соединения слов и из тож-ва Ùх=хÙ=х.3)тождество:

1)Пусть слово х принадлежит его л.ч,т.е. языку L1(L2ÚL3).тогда согласно определению соед. языков ,это слово может быть представленно в виде х=уz,где уÎL1,иzÎ(L2ÚL3),т.е.zÎL2ÚzÎL3.Если zÎL2,то yzÎL1L2, а если zÎL3,то yzÎL1L3,т.е. х=yzÎL1L2ÚL1L3.Пусто теперь xÎL1L2ÚL1L3.Тогда x=yz,где yÎL,а zÎL2ÚzL3,т.е. xÎL1(L2L3)

2)аналогично.

В п/к р=(S,+,*,0,1) отн. порядка вводится следующим образом:для "x,yÎS по определению х£у тогда и только тогда ,когда х+у=у т.к. в п/к всех языков в алфавите V операция сложения –это операция объединения мн-в,то в данном случае отношение порядка £ есть не что иное,как тоеретико-множ включение £.Тогда замкнутость п/к L(V)Þиз $ объединения любого семейства множеств служащего точной верхней границы этого семейства,а так же из следующих тождеств:

,что гарантирует выполение непрерывности операции умножения данного п/к,т.е. непрерывности операции соединения эти тождества док-ся,как тождества обычной дистрибутивности. Докажем      

Методом двух включений. Если

.Согласно определению объединения семейства множеств, издается такое

Обратное доказываем так из    

Þ,что для некоторого