Объясните условие перпендикулярности двух векторов.

Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника черезкоординаты его вершин.

Пусть координаты таковы: A(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂), C(x₃;y₃;z₃)
AM, BN, CP - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан.

Так как M - середина BC, то ее координаты:

X_M=(x₂+x₃)/2
Y_M=(y₂+y₃)/2

Z_M=(z₂+z₃)/2

Находим координаты вектора AM
X_AM = (x₂+x₃)/2-x₁=(x₂+x₃-2x₁)/2
Y_AM = (y₂+y₃)/2-y₁=(y₂+y₃-2y₁)/2

Z_AM = (z₂+z₃)/2-z₁=(z₂+z₃-2z₁)/2

Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,

Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
X_AO = 2/3 * (x₂+x₃-2x₁)/2=(x₂+x₃-2x₁)/3

Y_AO = 2/3 * (y₂+y₃-2y₁)/2=(y₂+y₃-2y₁)/3

Z_AO = 2/3 * (z₂+z₃-2z₁)/2=(z₂+z₃-2z₁)/3

Осталось найти координаты точки O(x₀;y₀;z₀)
AO = (x₀ - x₁; y₀ - y_1; z_{0 -} z₁)
Значит
x₀ - x₁ =(x₂+x₃-2x₁)/3
x₀ = (x₁ + x₂ + x₃)/3

y₀ - y₁ =(y₂+y₃-2y₁)/3
y₀ = (y₁ + y₂ + y₃)/3

z_{0 —} z₁ =(z₂ + z₃ -2z₁)/3
z₀ = (z₁ + z₂ + z₃)/3

2. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.

Над векторами не забудьте стрелочки! Я просто не могу их поставить в Ворде.

Пусть координаты точек будут:

А(х₁, y₁, z₁)

B(х₂, y₂, z₂)

Тогда координаты векторов будут:

OA { х₁, y₁, z₁}

OB { х₂, y₂, z₂},

т.к. ОА и ОВ — радиус-векторы

ON = OA + OB

OM = ½ON = ½(OA + OB) = ½OA + ½OB

X_OM = ½x₁ + ½x₂ = ½(x₁ + x₂)

Y_OM = ½y₁ + ½y₂ = ½(y₁ + y₂)

Z_OM = ½z₁ + ½z₂ = ½(z₁ + z₂)

OM – радиус-вектор =>

X_M = X_OM = ½(x₁ + x₂)

Y_M = Y_OM = ½(y₁ + y₂)

Z_M = Z_OM = ½(z₁ + z₂)

Выведите формулу для вычисления длины вектора по его двум координатам.

Скорее всего опечатка в задании «по его трем координатам», т.к. мы изучаем векторы в пространстве, а не на плоскости.

Пусть координаты точек будут:

А(х_A;y_A;z_A)

B(x_B;y_B;z_B)

Мы знаем формулу нахождения длины отрезка по координатам его конца и начала.

l = √(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²

x₂ = x_B

x₁ = х_A

y₂ = y_B

y₁ = y_A

z₂ = z_B

z₁ = z_A

Тогда:

|a| = √(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)² + (z_B-z_A)²

Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Если у кого-то есть другое, лучшее объяснение, напишите пожалуйста!

Доп. построение: вектор а равный АВ

Находим длину вектора а по формуле

|a| = √(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)² + (z_B-z_A)²

Поскольку вектор а равен АВ =>

длина АВ равна |a| =>

АВ= √(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)² + (z_B-z_A)²

Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

a*b = |a| * |b| * cos(α); α - угол между а и b

cos(α) = a*b / |a| * |b|

a * b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

|a| * |b| = √x₁² + y₁² + z₁² * √x₂² + y₂² + z₂²

Тогда:

cos(α) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / √x₁² + y₁² + z₁² * √x₂² + y₂² + z₂²

Выведите формулу косинуса угла между прямыми в пространстве.

Доп. построение:

1) направляющие вектора АА₁ и ВВ₁ на прямых а и  b

2) угол между прямыми равен углу между векторами  и равен углу α

Пусть координаты векторов будут:

АА₁{x₁;y₁;z₁}

ВВ₁{x₂;y₂;z₂}

Тогда:

cos(α) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / √x₁² + y₁² + z₁² * √x₂² + y₂² + z₂²

Выведите формулу нахождения координат вектора через координаты его конца и начала.

Координата вектора — это проекция данного вектора на ось, соответствующую этой координате.

Чтобы спроецировать вектор на ось, нужно провести к ней перепендикуляры из концов вектора и соединить их.

Тогда:

проекция вектора а на ось ОХ — это отрезок Х₁Х_2;

проекция вектора а на ось ОY — это отрезок Y₁Y₂;

проекция вектора а на ось ОZ — это отрезок Z₁Z_2.

Тогда:

X_a = Х₁Х_2;

Y_a = Y₁Y_2;

Z_a = Z₁Z_2;

Чтобы найти длину отрезка, необходимо из большей координаты вычесть меньшую.

Тогда:

длина вектора Х₁Х₂ = Х_{2 —} Х₁

длина вектора Y₁Y₂ = Y₂ — Y₁

длина вектора Z₁Z₂ = Z₂ — Z₁

Тогда:

X_a = Х_{2 —} Х₁

Y_a = Y₂ — Y₁

Z_a = Z₂ — Z₁

Тогда: а {Х_{2 —} Х₁;Y₂ — Y₁;Z₂ — Z₁}, ч.т.д.

Выведите формулы вычисления скалярного произведения двух векторов.

a * b = |a| * |b| * cos(α) = x₁x₂ * y₁y₂ * z₁z₂

Как вывести, не знаю!

Объясните условие перпендикулярности двух векторов.

a _┴ b, если a * b = 0

док-во:

1) если a _┴ b => угол между ними прямой (α = 90°)

2) cos 90° = 0

3) a * b = |a| * |b| * cos(α) = |a| * |b| * cos 90° = |a| * |b| * 0 = 0, ч.т.д.

10. Объясните условие коллинеарности двух векторов.

b коллинеарен a, если есть такое число х, которое удовлетворяет неравенству

b = xa

док-во:

1)Коллинеарными векторами называют вектора, лежащие на параллельных или одной прямой

2) при умножении вектора a на любое число х направление вектора не поменяется, т.е. вектор хa будет сонаправлен с вектором a и лежать с ним на одной прямой, а значит являться коллинеарным, ч.т.д.