Часть 2. Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка.

Далее перейдем к уравнениям более высокого порядка.

    Дифференциальным уравнением порядка , разрешенным относительно старшей производной, называется дифференциальное уравнение вида

              .

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.

Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка  называется задача отыскания решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего условиям

, , ,…,  .

Известно, что при определенных условиях задача Коши имеет решение и при том единственное.

Общим решением дифференциального уравнения  называется совокупность функций , где  - произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. При любом наборе произвольных постоянных  функция  является частным решением дифференциального уравнения;

2. Для любых начальных условий задачи Коши , , ,…,  при существует такой набор значений произвольных постоянных , что выполнены условия , ,…….,

.

В контрольной работе присутствуют два типа уравнений, допускающих понижение порядка.

Первый тип -этоуравнения, которые явно не содержат неизвестную функцию и ее производные до некоторого порядка .

    Пусть дано уравнение порядка n вида

                       ,

то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k-1 включительно. Введем новую неизвестную функцию . Производные функции  выразятся через производные функции  следующим образом: ,…, . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Полученное уравнение для функции  является уравнением более низкого порядка. Если функция  определена, то функция  определяется интегрированием соотношения = .

    Пример. При x>0 найти общее решение дифференциального уравнения

                       .

    Это уравнение явно не содержит y и . Обозначим . Тогда: . Подставляя в исходное уравнение, получаем

                       .

Уравнение для определения функции  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: ; ; ; ; ; ; .

Так как , то = . Тогда .

Обозначим .

    Ответ: , где  - произвольные постоянные.

    Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

                       .

    Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию . Введем новую неизвестную функцию . Тогда  и уравнение преобразуется к виду

                       .

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

; .

Выберем функцию  из условия . Уравнение для функции  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .

Найдем функцию :

; ; .

Тогда

              = .

Определим .

=

= =

.

Так как  является так же произвольной постоянной, то окончательный ответ может быть записан в виде

.

Ответ: .

    Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, - это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную . (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка.) Пусть дано уравнение вида

                       .

    Будем искать производную как функцию  в виде , где  - неизвестная функция. Тогда

    = = = .

Подставляя  и в исходное уравнение, получаем

              .

Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции . Если нам удастся найти функцию , то для определения  имеем уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными.

    Замечание. При изложенном методе могут быть потерянны решения , то есть . Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно.

    Пример. Найти решение задачи Коши:

                       , , .

    Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем .

Полученное для  уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: ,  , , . Определим произвольную постоянную С. Так как при  имеем , а , то  при . Тогда 32=32+С, С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что   - положительное число. Неизвестную функцию  определяем из уравнения . Найдем его решение: . Поскольку  , то , , , . Так как , то , . Следовательно, .

    Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

                       , , .

    Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем .

Полученное для  уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: ,  , , . Определим произвольную постоянную С. Так как по условию при  имеем , а , то  при . Тогда = +С, С=0. Следовательно, или . Знак минус при извлечении корня выберем потому, что   - отрицательное число. Неизвестную функцию  определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , , . Так как , то , . Следовательно, .

    Ответ: .

    Пример. Решить задачу Коши

    , , .

    Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем .

 Полученное для  уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , , .

Определим произвольную постоянную С. Так как при  имеем , а , то  при . Тогда , С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выберем плюс потому, что   - положительное число. Тогда . Неизвестную функцию  определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , . Так как , то , .

Следовательно, .

    Ответ: .

Схема исследования приведенных уравнений сведена в таблицу 2.

	Вид уравнения	Чем характерно	Способ решения
1.			Непосредственное интегрирование:
2.		Не содержит явно искомой функции	Подстановка: , Решаем уравнение первого порядка . Решаем уравнение с разделяющимися переменными
3.		Не содержит явно аргумента	Подстановка: , Решаем уравнение первого порядка . Решаем уравнение с разделяющимися переменными

Таблица 2.