Уравнения с разделяющимися переменными.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

    Излагаются основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие является частью пособия для заочного отделения (автор Антонова И.И., МГУПИ), содержащей уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли, некоторые уравнения высших порядков.

Часть 1. Дифференциальные уравнения первого прядка.

    Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка.

    Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется соотношение вида

              .

    Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.

    Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения

              ,

удовлетворяющего условиям,  при .

    Известно, что если в некоторой области функция  непрерывна вместе со своей частной производной , то в этой области задача Коши имеет решение и при том единственное.

    Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в некоторой области называется совокупность функций  (С – произвольная постоянная), удовлетворяющая двум условиям:

1.При любом значении произвольной постоянной С функция  является частным решением дифференциального уравнения;

2. Для любых начальных условий задачи Коши  при  найдется значение произвольной постоянной , такое что .

    Если общее решение  неявно определятся соотношением вида , то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Далее рассмотрим методы решения тех классов дифференциальных уравнений первого порядка, которые представлены в контрольной работе.

Уравнения с разделяющимися переменными.

    Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:

                       .

    Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:

                       .

    Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:

                       ,

где С – произвольная постоянная.

    Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

    Замечание. Если функция  равна нулю в точках , то функции , ,….,  являются решениями исходного уравнения. При изложенном методе такие решения могут быть потеряны, поэтому их рекомендуется выписать отдельно.

    Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде y(x,y)=C).

                                 .

Для того, что бы убедиться, что данное уравнение действительно является уравнением с разделяющимися переменными, выразим . Имеем

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

                                 .

Интегрируя правую и левую части, получаем

                                 .

Приведем схему вычисления интеграла: = .

После вычисления интегралов имеем: .

    Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

                       .

    Уравнение запишем в виде

                       .

    Тогда , . Заметим, что  при . Следовательно, функция  является решением данного дифференциального уравнения.

В случае  разделяем переменные:

                                 .

Интегрируя правую и левую части, получаем

                                 .

Приведем схему вычисления интеграла

После вычисления интегралов имеем: , .

Потенцируя данное выражение, получаем . Отметим, что решение  содержится в полученном выражении общего решения при С=0.

    Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

                                 .

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

                           .

Интегрируя правую и левую части, получаем

                                 .

После вычисления интегралов имеем: .

    Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Поясним, что такая запись подразумевает под  дифференциал независимой переменной, под  - дифференциал неизвестной функции ( = ).

    Перенесем выражения, содержащие  в левую часть уравнения, выражения, содержащие -  в правую часть. После некоторых простых преобразований, получаем

              .

Разделяем переменные

              .

Интегрируя правую и левую части, получаем                                                                                                                                             .

Приведем схему нахождения интеграла

.

После вычисления интегралов имеем

.

Потенцируя полученное выражение, имеем .

    Ответ: .

Однородные уравнения.

    Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:

                       .

    Можно предложить следующий метод его решения. Неизвестную функцию  будем искать в виде , где  - неизвестная функция. Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

                       .

Данное уравнение представим в виде

                       .

    Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции . Метод его решения рассмотрен ранее.

    Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

              .

    Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

              .

Полученное уравнение преобразуем к виду

              .

Разделяем переменные

              .

Интегрируем правую и левую части

              + .

(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где . Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

              .

Потенцируя, имеем

              .

Избавляясь от знака модуля, получаем

              .

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

              .

    Заметим, что в уравнении , выражение  при , . Следовательно, функции  и  являются решениями дифференциального уравнения для неизвестной функции , а значит, функции  и  являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Решение содержится в решении , если положить С=0.

Ответ: , , где С – произвольная постоянная.

    Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

              .

Поскольку данное уравнение является однородным, то неизвестную функцию  будем искать в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

              .

Полученное уравнение преобразуем к виду

Разделяем переменные

Интегрируем правую и левую части

              .

Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

              .

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

              .

Ответ: , где С – произвольная постоянная.

    Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

              .

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию   в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

              .

Данное уравнение преобразуем к виду

              .

Поскольку правая часть не равна нулю ни при каких значениях , то, разделяя переменные, получаем

.

Интегрируя, имеем

                       +С.

Приведем схему нахождения интеграла

.

После вычисления интегралов получаем

.

Поскольку , то выражение записываем в виде

.

    Ответ: .

    3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

    Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде

              ,

где Р(х) и Q(х) – известные функции.

    Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде , где неизвестная функция, а  - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора  будет описан позже). Производная  равна: . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем

                           + .

Полученное уравнение преобразуем к виду

              .

Подберем функцию  так, чтобы было выполнено: .

(Это уравнение для определения функции  является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое-либо частное решение не равное тождественно нулю). Тогда для определения  имеем уравнение . Из этого уравнения при известной функции находим :

                       = ,

где С – произвольная постоянная.

Тогда общее решение  имеет вид:  

    Пример. Найти решение задачи Коши:

    , .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем: + ; .

Выберем функцию  из условия . Уравнение для функции  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

              .

Произвольную постоянную С определим из условия :

; .

    Ответ: .

    Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

                       .

    Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем: ; .

Выберем функцию  из условия . Уравнение для функции  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

              .

    Ответ:

Пример. Найти решение задачи Коши

                       , .

    Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

; .

Выберем функцию  из условия . Уравнение для функции  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .

Найдем функцию :

; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

              .

Определим произвольную постоянную С.

Так как , то имеем ,

    Ответ:

    4. Уравнение Бернулли.

    Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде

    .

Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде , где - неизвестная функция, а  - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора  будет описан позже). Производная  равна: . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

                           + .

Полученное уравнение преобразуем к виду

              .

Подберем функцию  из условия: .

(Это уравнение для определения функции  является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не равное тождественно нулю).

Тогда для определения  имеем уравнение

                  .

Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее.

    Пример. Найти решение задачи Коши:

              , .

    Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать  в виде . Тогда, подставляя  и   в исходное уравнение, получим: . Функцию  определяем из условия: ; ; ; ; . Определим : ; ; +С; ; . Следовательно, общее решение имеет вид . Из условия  определяем произвольную постоянную С: ; .

    Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

              , .

    Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем искать  в виде . Тогда, подставляя  и    в исходное уравнение, получим: . Функцию  определяем из условия: ; ; ; ; . Определим : ; ; +С; ; .( Знак плюс при извлечении квадратного корня выбран исходя из начальных условий). Следовательно, общее решение имеет вид . Из условия  определяем произвольную постоянную С: ;

    Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

              , .

    Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать  в виде . Тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получаем:

; .

 Функцию  определяем из условия: , ; ; ; . Определим :

; ; . 

Интегрируем правую и левую части полученного соотношения

.

Приведем схему вычисления полученных интегралов.

.

Для вычисления  сделаем замену переменных , , . Тогда получаем

Подставляя полученные интегралы в исходное выражение, получаем , . Следовательно , общее решение имеет вид .

Используя начальные условия задачи Коши, определим С.

Так как , то , С=0.

Тогда имеем .

    Ответ: .

Типы рассмотренных уравнений и методы их решения сведены в таблицу 1. Приведем решение еще одного уравнения с использованием указанной таблицы.

Пример. Решить уравнение

1.Переменные не разделяются, так как .

2.Подставим   в  и , получим . Из скобки  невозможно вынести , т.е. функция  не является однородной. Вывод: это не однородное уравнение.

3.Выделим линейную часть вида . Делим уравнение на , и учитываем, что . Тогда:

; , но . Линейная часть относительно  и  не выделяется. В таком виде это уравнение не может быть отнесено ни к типу линейных уравнений, ни к типу уравнений Бернулли.

4.Поменяем ролями функцию и аргумент. Разделим уравнение на  и учтем, что . Тогда: . В этом дифференциальном уравнении легко просматривается линейная относительно  и  часть: . В правой части этого соотношения видим  в степени  и делаем вывод, что это уравнение относится к типу уравнений Бернулли относительно . Решаем его с помощью подстановки . Тогда: ; .

Пусть ;  ; ; ; .

; ; ; ; 

. Ответ удобно искать в виде: ; .

Ответ: .

	Тип уравнения	Вид уравнения		Способ решения
1.	Уравнения с разделяющимися переменными	Можно привести к виду	Можно привести к виду	Учитывая, что , преобразовать уравнение к виду  и интегрировать обе части
2.	Однородные уравнения	Можно привести к виду	и должны быть однородными функциями одного измерения:	Подстановка  приведет уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. При этом  или
3.	Линейные уравнения	Приводятся к виду  или		а) Подстановка  (или ) б) Метод вариации постоянной
4.	Уравнения Бернулли	Приводятся к виду ,

Таблица 1.