Формулы предельной ошибки и необходимого объема выборки для различных случаев.

Выборка	Предельная ошибка ( )		Необходимая численность ( )
	средней ( )	доли ( )	средней ( )	доли ( )
Случайная повторная
Случайная бесповторная
Типическая повторная
Типическая бесповторная

Обозначения в таблице:

1) -квантиль распределения, соответствующий уровню значимости .

2) -выборочная дисперсия

при ;

при .

3) -дисперсия относительной частоты в схеме повторных независимых испытаний.

4) -объем генеральной совокупности, - объем выборки.

5) -средняя арифметическая групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия).

6) -средняя арифметическая дисперсий групповых долей.

7) - предельная ошибка выборки.

Примеры решения задач

Задача 1.

   В ходе обследования банковских счетов была проведена случайная выборка записей по вкладам. Из выборки 100 оказалось, что средний размер вклада составляет 1 837 д.е.; среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 280 д.е. Найти с надежностью g=0,95 доверительный интервал для среднего размера  вкладов по всем счетам, если известно, что размер вкладов распределен по нормальному закону.

Решение:

По условию ; ; ; . По таблице значений функции находим из условия:

.

По формуле:

находим доверительный интервал:

Это означает, что с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что средний размер вклада генеральной совокупности находится в пределах от 1782,12 д.е. до 1891,88 д.е. Интервал ±54,88 составляет примерно ±3% среднего размера вклада в выборке (1 837д.е.). Это не очень большое отклонение, поэтому среднее значение выборки можно считать надежной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Однако существует вероятность, равная 0,05 того, что можно получить значение вне доверительного интервала.

Задача 2.

На фирме проведен выборочный опрос 10% работников по вопросам изменения условий труда. Из 90 работников основного производства за изменение условий труда высказалось 65 человек, из 30 человек вспомогательного производства -20 человек, а из 25 работников, занятых управлением фирмой -21 человек. С доверительной вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля работников фирмы, поддерживающих изменения условий труда.

Решение:

Пусть {работник, участвующий в опросе, поддерживает изменение условий труда}. По условию задачи:

, , .

Найдем относительную частоту появления события : .

Найдем из соотношения . По таблице функции Лапласа (см. приложение 1) находим .

Так как , то воспользуемся формулами:

, э

Подставив , , получим соответственно , .

Таким образом, с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля работников поддерживающих изменения условий труда находиться в границах:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 7.1

С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-я случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были полу­чены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверитель­ной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое откло­нение составило 150 у. е.?

Задача 7.2

  Фирма, торгующая автомобилями в неболь­шом городе, собирает информацию о состоянии ме­стного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8746 лиц в возрасте 18 лет и старше, про­живающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году. Оце­ните долю лиц в генеральной совокупности в возра­сте 18 лет и старше, планирующих приобрести но­вый автомобиль в текущем году, если .

Задача 7.3

Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной по­вторной выборки отобраны 400 человек рабочих спе­циальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-й доверительный интервал, оцени­те истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

Задача 7.4

 Туристическое бюро, рекламируя отдых на одном из морских курортов, утверждает, что для этого курорта характерна идеальная погода со среднегодовой температурой +20° С. Пусть случай­но отобраны 35 дней в году. Какова в этом случае вероятность того, что отклонение средней темпера­туры за отобранные дни от среднегодовой темпера­туры не превысит по абсолютной величине 2°С, если температура воздуха распределена по нормальному закону, а стандартное отклонение дневной темпе­ратуры составляет 4°С?

Задача 7.5

Выборочные обследования малых предприя­тий города показали, что 95% малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах нахо­дится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попа­ло 100 предприятий?

Задача 7.6

В целях изучения среднедушевого дохода се­мей города в 1995 г. Была произведена 1%-я повтор­ная выборка из 30 тыс. семей. По результатам об­следования среднедушевой доход семьи в месяц со­ставил 200 тыс. руб. со средним квадратическим от­клонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0,95 найдите доверительный интервал, в котором на­ходится величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной ве­личиной, распределенной по нормальному закону.

Задача 7.7

 Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовано 300 семей города. Оказалось, что среди обследован­ных семей 15% состоят из 2 человек. В каких пре­делах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из 2 человек, если принять дове­рительную вероятность равной 0,95?

Задача 7.8

По данным выборочных обследований в 1995 г. Прожиточный минимум населения Северо-Кавказ­ского района составил в среднем на душу населе­ния 87 тыс. руб. в месяц. Каким должен был быть минимально необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что этот показатель уровня жизни населения в выбор­ке отличается от своего значения в генеральной со­вокупности не более чем на 10 тыс. руб., если сред­нее квадратическое отклонение принять равным 30 тыс. руб.?

Задача 7.9

В 1995 г. Выборочное обследование распреде­ления населения города по среднедушевому денеж­ному доходу показало, что 40% обследованных в выборке имеют среднедушевой денежный доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной совокупности, если объем генеральной совокупности составляет 1 000 000 единиц, выборка не превышает 10% объе­И генеральной совокупности и осуществляется по методу собственно-случайного бесповторного отбо­ра, а доверительная вероятность принимается рав­ной 0,954?

Задача 7.10

Аудиторская фирма хочет проконтролиро­вать состояние счетов одного из коммерческих бан­ков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движе­ние денежных средств в течение месяца. Построй­те 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по кото­рым имело место движение денежных средств в течение месяца.

Задача 7.11

Строительная компания хочет оценить воз­можности успешного бизнеса на рынке ремонтно-строительных работ. Эта оценка базируется на слу­чайной бесповторной выборке, в соответствии с ко­торой из 1000 домовладельцев, собирающихся ре­монтировать или перестраивать свои дома, отобра­ны 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 5000 у.е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в гене­ральной совокупности по абсолютной величине не более, чем на 100 у.е., если стандартное отклоне­ние стоимости строительных работ в выборке со­ставило 500 у.е.?

Задача 7.12

Менеджер компании, занимающейся прока­том автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний про­бег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая про­бег автомобиля случайной величиной, распределен­ной по нормальному закону, найдите 95%-й дове­рительный интервал, оценивающий средний про­бег автомобилей всего парка в течение месяца.

Задача 7.13

Среднемесячный бюджет студентов в коллед­жах одного из штатов США оценивается по случай­ной выборке. С вероятностью 0,954 найдите наи­меньший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 у.е., а предельная ошиб­И средней не должна превышать 20 у.е.

Задача 7.14

Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения сред­него размера такого кредита. Из 9706 клиентов бан­И опрошено 1000 человек. Среднее значение необ­ходимого кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95% -го доверительного интервала для оцен­ки неизвестного среднего значения кредита в гене­ральной совокупности.

Задача 7.15

Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупа­телей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку гене­ральной доли с точностью не менее 0,05 при дове­рительной вероятности 0,90?

Задача 7.16

С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследова­ниях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин, а отклонение выбороч­ной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин с вероятнос­тью 0,99?

Задача 7.17

При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-й довери­тельный интервал, оценивающий долю всех теле­зрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.

Задача 7.18

Для оценки остаточных знаний по общеэконо­мическим предметам были протестированы 25 сту­дентов 2-го курса факультета. Получены следую­щие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студен­тов 2-го курса факультета.

Задача 7.19

Для изучения размера среднемесячной зара­ботной платы занятого населения региона произво­дится случайная повторная выборка. Каким дол­жен быть объем этой выборки, чтобы с доверитель­ной вероятностью 0,997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величи­не не более чем на 25%,  если среднемесячная зара­ботная плата в выборке составила 220 у.е. со сред­ним квадратическим  отклонением 120 у.е.?

Задача 7.20

Выборочное исследование деятельности ком­мерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стан­дартным отклонением, равным 5). Найдите объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка выборочной средней находится в пределах 20% от ее фактического значения, а до­верительная вероятность составляет 0,95.

8.  Статистическая проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на :

Параметрические –это гипотезы, сформулированные относительно параметров распределения известного вида(среднего значения, дисперсии и т. д.).

Непараметрические- это гипотезы, сформулированные относительно вида распределения .

Основную выдвигаемую гипотезу называют нулевой . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную ей .

Статистическим критерием  называют случайную величину , с помощью которой принимают решение о принятии или отклонении .