Виды непрерывных распределений

1. Равномерное распределение.Случайная величина имеет равномерное распределение на интервале , если ее плотность распределения на этом интервале постоянна:

,

, .

        Вероятность попадания случайной величины , имеющей равномерное

       распределение с параметрами на участок от до , равна:

.

1. Нормальное распределение (с параметрами ). Случайная величина имеет нормальное распределение ,если ее плотность распределения равна:

,

       где .

        Вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное

       распределение с параметрами на участок от до , равна:

,

     где - функция Лапласа (см. приложение 1).

1. Показательное распределение. Случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:

,

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , которая распределена по показательному закону, определяется по формуле:

.

Примеры решения задач

Задача.

Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на ± 0,25 мм считается дефектной. Компания А требует от компании В , чтобы доля брака не превышала 1 % деталей. Если компания В выполняет требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина.

Решение.

Компания А требует от компании В, чтобы выполнялось условие:

,

где - размер деталей, - установленный размер.

События  и  противоположные, поэтому:

Следовательно: .

Так как - нормально распределенная случайная величина, то

,

где - среднеквадратическое (стандартное) отклонение размеров деталей.

По таблице значений функции (приложение 1) имеем:

Итак, допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей равно 0,097.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 5.1

Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере 800 т угля.

Задача 5.2

Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

Задача 5.3

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 у.е.

Задача 5.4

Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением = 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой недели, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275 % проданных автомобилей?

Задача 5.5

При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение = 0,4 унций. Пусть емкости объемом 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 5 % емкостей оказались переполненными?

Задача 5.6

Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Задача 5.7

Менеджер ресторана по опыту знает, что 70 % людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?

Задача 5.8

Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и стандартным отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х₁ %, но не более х₂ %. Найдите х₁ и х₂ .

Задача 5.9

Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % - имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

Задача 5.10

На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туши – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87 % туш имеют вес менее 800 кг и 37,07 % туш – более 1000 кг. Определите средний ожидаемый вес и среднее квадратическое отклонение веса туш.

Задача 5.11

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой              компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию был ниже 60 за акцию.

Задача 5.12

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была выше 40 за акцию.

 Задача 5.13

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была между 42 и 54 у.е.

Задача 5.14.

Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартным и считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200.5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм . На сколько повысился процент бракованных деталей?

Задача 5.15.

Диаметр деталей, изготовленных заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметра а=2,5 см, среднее квадратическое отклонение равно 0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Задача 5.16

Менеджер гостиницы по опыту знает, что 60 % клиентов, забронировавших номер, действительно займут его в течении суток. На текущие сутки менеджер решил принять бронь на 25 номеров, хотя в гостинице предполагалось, что освободиться лишь 20 номеров. Чему равна вероятность того, что более 20 клиентов затребуют забронированные номера?

Задача 5.17

Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля

Задача 5.19

Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 985 т и стандартным отклонением 70 т. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 865 т.

Задача 5.20

Предположим, что в течение года некоторая строительная компания установила некоторую цену на 1 кв метр квартиры-новостройки. Стоимость одного квадратного метра есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 25 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за один квадратный метр квартиры-новостройки была выше 30 у.е. за метр.

6. Анализ вариационных рядов.

Последовательность вариантов с соответствующими частотами называется дискретным вариационным рядом.

Полигон относительных частот – это ломанная, отрезки которой соединяют точки:

Показатели вариации:

1. - средняя арифметическая.
2. -размах вариации , где -наибольший вариант, -наименьший вариант.
3. - дисперсия дискретного ряда распределения.
4. - среднее квадратичекое отклонение.
5. - среднее линейное отклонение.
6.  - коэффициент вариации.