Геометрическое определение вероятности.

На практике очень часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

Иногда в таких случаях можно воспользоваться методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости, пространства. Отсюда и возникает само название вероятности – геометрическая вероятность.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

Для определения ограничимся двумерным случаем. Одномерный и трёхмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них нужно говорить о длинах и объёмах.

Пусть на плоскости имеется некоторая область ,

                                                площадь которой , и в ней содержится другая

                                                                    область , площадь которой . В область                                                               

                                           наудачу бросается точка. Спрашивается, чему                                                               равна вероятность того, что точка попадёт в область ?

                                                    При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую часть области , и вероятность попасть в какую-либо часть области  пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения и формы. Таким образом, вероятность попадания в область  при бросании наудачу точки в область :

Пример: (задача о встрече) Два лица условились встретиться в определённом месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 часами и ждёт в течение 30 минут. Если партнёр к этому времени ещё не пришёл, или уже успел покинуть установленное место, встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение: Пусть х и у – моменты прихода в определённое место двух лиц.

              Тогда ,   

                                               Встреча произойдёт, если :

Замечание: Свойства вероятности сохраняются и при геометрическом определении вероятности.

Аксиоматическое определение вероятности.

Необходимость формально логического обоснования теории вероятностей, её аксиоматического построения возникла в связи с развитием самой теории вероятностей как математической науки и её приложений в различных областях.

Впервые идея аксиоматического построения вероятностей была высказана российским академиком Бернштейном (Бернштейн Сергей Натанович 1880-1968), исходившим из качественного сравнения событий по их большей или меньшей вероятности.

В начале 30-х годов прошлого столетия академик Колмогоров (Колмогоров Андрей Николаевич 1903-1987) разработал иной подход, связывающий теорию вероятностей с современной метрической теорией функций и теорией множеств.

Приведём систему аксиом, предложенную Колмогоровым.