Интегральная функция Лапласа

Анализ результатов экспериментов

В результате анализа информационного массива необходимо установить непрерывность или дискретность (прерывистость) зависимости исследуемого параметра (исследуемых параметров) от входных параметров.

В непрерывных объектах все входные сигналы представляют собой непрерывные функции выходных параметров от входных. В дискретных объектах все выходные сигналы колеблются с определенной амплитудой вокруг теоретического значения.

Практические задачи требуют иногда простого математического аппарата для описания эмпирической зависимости выходного параметра от исследуемых факторов только в определенном диапазоне. В более сложных случаях требуется установить закономерности и выявить структурные параметры. Закономерности определяются, как правило, путем создания и решения математических моделей процесса.

В результате поискового эксперимента и анализа априорного информационного массива устанавливают схему взаимодействия рассматриваемого объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных параметров. В принципе возможно установление четырех схем взаимодействия:

– одномерно-одномерной (см. рис. 2.1, а) – на объект воздействует только один фактор (один входной сигнал), а его поведение рассматривается по одному показателю (одному выходному сигналу);    

– одномерно-многомерной(см. рис. 2.1, б) – на объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким показателям;

– многомерно-одномерной(см. рис. 2.1, в) – на объект воздействуют несколько факторов, а его поведение оценивается по одному показателю;

Рис. 2.1. Схемы взаимодействия объекта с внешней средой:

а – одномерно-одномерная схема; б – одномерно-многомерная схема;
в – многомерно-одномерная схема; г – многомерно-многомерная схема

2.3. Нахождение оптимальных параметров,
 применение методов планирования экспериментов

Проводя исследования, часто приходится находить оптимальные параметры, при которых показатели процессов принимают экстремальные (максимальные или минимальные) значения. Существует несколько методов определения оптимальных параметров процессов.

Схема Зайделя–Гаусса

Достаточно часто употребляемая на практике схема нахождения оптимальных параметров процессов по схеме Зайделя–Гаусса заключается в том, что изучается влияние одного из параметров внешней среды, в то время как остальные параметры остаются постоянными и составляют так называемый фон.

Например, при одномерно-многомерной схеме параметров процесса необходимо найти максимальное (или минимальное) значение функции у от переменных параметров процесса х₁, х₂, х₃,…x_j …x_m

                                         у = f (х₁, х₂, х₃, …, x_j, …, х_m)                      (2.25)                                  

Значит, при использовании в качестве переменного фактора х₃необходимо построить график зависимости у = f (х₃) при постоянных значениях других параметров (х₁ = соnst, x₂= const, …, x_m= const). Для этого необходимо произвести, по крайней мере, 4…5 опытов и таким образом найти   частный оптимум значения параметрах₃. Однако данный частный оптимум может не быть абсолютным оптимумом величины х₃, так как при изменении в последующем фона оптимум может изменяться. В дальнейшем пе-реходят к изучению влияния другого фактора при изменении «фона».   При этом в качестве фона принимают ранее полученный оптимальный параметр х₃.

Поскольку реальные процессы зачастую бывают сложными, планируемые проверочные опыты не приводят сразу к абсолютному оптимуму. Поэтому после выполнения крутого восхождения наилучшая из точек выбирается в качестве нового фона и описанный цикл повторяется. Так продолжается до тех пор, пока рассчитанный по результатам опытов критерий Фишера (критерий оптимизации) не покажет, что процесс находится в области, близкой к оптимальной.

Естественно, что чем больше количество переменных факторов, тем больше требуется опытов и путь к оптимуму более длительный. При использовании на каждом уровне 4…5 (в общем виде n) опытов потребное число опытов составляет 5^m или n^m .

Движение к оптимуму при использовании этой схемы показано на рис. 2.2, на котором рассматривается случай оптимизации процесса зависящего от трех факторов.

      у                                             у                                        у