Погрешности приближенных величин

Абсолютной величиной какого-либо числа называется его положительное значение независимо от знака. Обозначается эта величина двумя вертикальными линиями, стоящими по обе стороны числа, т. е. |А|.

Приближенные значения чисел и величин всегда имеют некоторую погрешность (ошибку), которую принято определять абсолютной или относительной величиной.

Абсолютной погрешностью ε называется разность между приближенным А  и точным Х значениями данной величины:

                                                      ε = А – Х.                                        (2.1)

Относительной погрешностью δназывается отношение абсолютной погрешности к точному значению данной величины:

                                                                     d =                                                  ( 2.2)

Относительная погрешность является числом отвлеченным. Относительные погрешности часто выражаются в процентах.

Источником погрешностей при измерениях может быть ряд причин, среди которых имеются и такие, которые не поддаются числовому определению и даже выявлению. Искажения результатов измерения могут быть вызваны недостатками измерительной аппаратуры, примененных методов измерения, изменяющимся воздействием внешних условий, в которых производят измерения, или неполнотой знания наблюдаемых явлений, а также личными ошибками наблюдателя.

На основании анализа и сопоставления результатов измерений установлены четыре класса погрешностей: систематические погрешности, случайные погрешности, личные погрешности и грубые погрешности.

Систематическими называют постоянные или изменяющиеся по определенному закону погрешности. Их часто называют инструментальными. Те приборы, которыми производят измерения, не могут быть сделаны идеально точно. Чаще всего в паспорте прибора указывается ошибка в зависимости от измеряемой величины. Иногда вместо измерения ошибки можно организовать измерения так, чтобы ошибка была исключена.

Случайными называют погрешности, присущие каждому измерению и являющиеся следствием большого числа причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различно. Их наличие обнаруживается при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях, приводимых с той же тщательностью.

Случайные погрешностиискажают результат измерений с одинаковой вероятностью в сторону его завышения и занижения. Они неизбежны, но могут быть учтены и сведены к минимуму подбором соответствующих условий. Учет этих погрешностей и подбор условий, при которых можно ожидать получение результата с минимальными погрешностями, могут быть произведены на основании принципов теории вероятностей, теории погрешностей, т. е. математической статистики.

Личные погрешности измерений зависят от физических особенностей аналитика при прочих равных условиях. Неоднократное изучение личных ошибок разных аналитиков показало, что эти ошибки следует относить и к систематическим, и к случайным. Известно, что аналитику присуща некоторая средняя величина личной ошибки, которую следует считать систематической и учитывать при обработке наблюдений.

Грубыми называют погрешности, приводящие к явному искажению результата измерений. Примерами грубых погрешностей являются: неправильный отсчет по шкале прибора, неверное определение по диаграмме самопишущего прибора, неверная запись, пропуски в отсчете наблюдений и др. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, принято отбрасывать, при необходимости измерение повторяют.

Таким образом, произведя единичное измерение, мы не можем быть уверены в том, что результат соответствует действительности. Для большей точности, как правило, производят не одно измерение, а некоторое количество. Для отбраковки измерений, содержащих грубые погрешности, для определения результата с минимальным отклонением от действительной величины, определения необходимого количества измерений для получения результата с необходимой точностью применяют методы математической статистики.

На предприятиях пищевых отраслей промышленности необходимо иметь сведения о качественных показателях сырья, идущего на производство продукции, а также готовой продукции как за короткий срок (отдельные партии, смена, сутки), так и за длительный период времени (среднемесячные данные). Особенно точные данные о среднем качестве сырья и готовой продукции следует иметь за месячный период работы предприятия, так как на основании этих данных часто составляют сырьевой и материальный балансы, по которым оценивается эффективность работы предприятия.

Часто в течение смены, суток и месяца сырье поступает в производство в виде непрерывного потока. Готовая продукция также идет на склад в виде такого потока. Если бы в течение исследуемого периода времени характеристики сырья и готовой продукции оставались постоянными, т. е. материал был бы однородным по длине потока, то проба, отобранная от движущего потока материала в любом месте и в любое время, была бы всегда представительной. На практике чаще всего наблюдается совершенно иное.

Важнейшие характеристики сырья и готовой продукции колеблются в достаточно широких пределах на протяжении определенного периода времени. Представительная проба должна обладать такими же свойствами, как и представляемая ею партия материала. Только при этом условии результаты испытаний пробы можно считать характерными для всего материала. В действительности проба представляет опробуемый материал только с некоторым приближением. Эта погрешность в основном обусловлена случайными изменениями характеристик сырья и готовой продукции. Представительность пробы тем выше, чем однороднее материал и чем больше величина пробы.

В силу того что изменения качественных характеристик сырья и готовой продукции предприятий подчиняются законам случайных величин, вопрос, каким должен быть объем представительной пробы, решается с помощью методов теории вероятности и математической статистики.