Задание 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятности

УДК 591.2 (075.8)

ББК В171я73+В172я73

М 215

Т.В. Мальцева, Д.В. Шармин. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. Сборник заданий для самостоятельной работы студентов специальностей «Государственное и муниципальное управление», «Налоги и налогообложение», «Информационный менеджмент», «Таможенное дело», «Управление качеством» и направлений «Менеджмент», «Социология». Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2009. 44 с.

Рабочая учебная программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математика [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математики и информатики. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ ЗА ВЫПУСК: Т.В. Мальцева, д.ф.-м.н., профессор

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Т.В. Мальцева, Д.В. Шармин, 2009

Содержание

Пояснительная записка. 4

Случайные события. 5

Задание 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятности. 5

Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 7

Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 12

Задание 4. Формула Бернулли. Формула Пуассона. 18

Задание 5. Локальная и интегральная формулы Лапласа. 21

Случайные величины.. 25

Задание 6. Дискретная случайная величина. 25

Задание 7. Непрерывная случайная величина. 28

Основы математической статистики. 34

Задание 8. Выборочный метод. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. 34

Задание 9. Линейная регрессия. 40

Список рекомендуемой литературы.. 43

Пояснительная записка

Настоящий сборник предназначен для студентов следующих специальностей и направлений: «Государственное и муниципальное управление», «Налоги и налогообложение», «Таможенное дело», «Информационный менеджмент», «Управление качеством», «Менеджмент» и «Социология». Он также может быть использован при обучении студентов других направлений и специальностей (гуманитарных, социальных, естественнонаучных и т.д.).

Структура сборника соответствует традиционной структуре курса теории вероятностей и математической статистики и включает такие разделы, как «Случайные события», «Случайные величины» и «Основы математической статистики». Поэтому сборник можно использовать в комплексе с любыми имеющимися в распоряжении преподавателя и студента учебниками и задачниками.

Каждое задание сборника имеет 25 вариантов и направлено на формирование у студентов умения решать типовые задачи по определенной теме. Различные варианты в задании, как правило, имеют одинаковую степень трудности, что дает возможность более объективно подойти к контролю знаний студентов.

В сборнике содержится много сюжетных задач, в том числе связанных с будущей профессиональной деятельностью студентов. Это позволяет показать роль теории вероятностей и математической статистики в решении практических задач и, тем самым, продемонстрировать прикладную направленность математики.  

Случайные события

Задание 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятности

1.1. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?

1.2. Номер случайно встреченного автомобиля состоит из 4 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры четные?

1.3. На предприятии из 14 автомобилей 4 неисправных. Какова вероятность того, что среди пяти случайным образом выбранных для осмотра автомобилей окажется два неисправных?

1.4. Из 10 билетов выигрышными являются 3. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

1.5. В проектном бюро работают 5 старших и 9 младших научных сотрудников. Для участия в научной конференции случайным образом отбирают 4 человек. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 старших научных сотрудника?

1.6. Десять спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Какова вероятность того, что золотую медаль получит конкретный спортсмен?

1.7. Среди 20 студентов группы, в которой 7 девушек, разыгрывается 5 билетов в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три девушки.

1.8. Для 15 сотрудников фирмы организована лотерея. Разыгрываются три различных подарка. Какова вероятность того, что подарки достанутся менеджеру Иванову, начальнику отдела Петрову и секретарю Сидоровой (один человек не может получить 2 подарка)?

1.9. В конверте среди 20 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 5 фотографий. Какова вероятность того, что среди них окажется одна нужная?

1.10. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров, 6 штук из них нуждаются в общей регулировке. Для работы в течение дня мастер случайным образом выбирает 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке?

1.11. Девять человек случайным образом рассаживаются на девятиместную скамейку. Какова вероятность того, что 3 определенных человека окажутся сидящими рядом?

1.12. В группе из 24 студентов 4 студента получили за контрольную работу отметку «отлично», 8 – «хорошо», 12 –«удовлетворительно». К доске вызваны 3 студента. Какова вероятность того, что все они имеют разные отметки за контрольную работу?

1.13. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по 5 мужчин.

1.14. Школьники сдают 5 экзаменов, в том числе экзамены по алгебре и геометрии. Какова вероятность того, что в расписании 2 экзамена по математике не будут следовать один за другим?

1.15. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?

1.16. На полке стоят 15 книг, из них 5 в твердом переплете. Наудачу берут три книги. Какова вероятность того, что две их них в твердом переплете?

1.17. На 7 карточках написаны цифры 2, 3, 3, 5, 5, 5, 9. Карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получившееся семизначное число является четным?

1.18. В течение месяца суд вынес 30 приговоров, в том числе 6 – за кражу. Для прокурорского надзора случайным образом выбраны 3 дела. Какова вероятность того, что в их числе окажутся два дела по обвинению в краже?

1.19. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, по жребию выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут одна женщина и двое мужчин.

1.20. Два приятеля, независимо друг от друга, садятся в электричку, состоящую из 8 вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся: а) в одном вагоне; б) в разных вагонах?

1.21. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.

1.22. Из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8 составляются всевозможные четырехзначные числа. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное из этой совокупности число делится на 5, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться?

1.23. Из 30 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 20. Какова вероятность того, что он ответит на 2 вопроса из 5, включенных в вытянутый им экзаменационный билет?

1.24. Случайным образом в телефонном справочнике выбирается номер телефона. Найти вероятность того, что 5 последних цифр номера: а) различны; б) одинаковы.

1.25. Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется 1 король и 3 дамы?