Определение общего случайного процесса как обобщение понятия случайного вектора.

Теория вероятностей

1. Что такое вероятность? Какие существуют различные определения понятия вероятности? Дать их формулировку. Что такое геометрическая вероятность?

2. Что такое случайное событие? Какие операции можно проводить над случайными событиями? Свойства этих операций.

3. Теорема сложения исчисления вероятностей случайных событий. Формула сложения двух событий, трех событий. Понятие совместных и несовместных событий.

4. Что такое условная вероятность события? Дать определение и записать формулу. Теорема умножения. Свойства попарной независимости событий и независимости в совокупности. Варианты формулы умножения.

5. Формула полной вероятности для совокупности случайных событий (без вывода). Ее применение.

6. Формула Байеса для совокупности случайных событий (без вывода). Ее применение.

7. Дискретная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики: ряд и функция распределения, моменты распределения, мода, медиана, квантиль, асимметрия, эксцесс, коэффициент вариации. Их свойства.

8.  Непрерывная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики и их свойства.

9. Смешанная случайная величина. Способ задания. Ее характеристики и их свойства.

10.  Стандартные распределения дискретных случайных величин: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, Паскаля. Их характеристики: ряд и функция распределения, математическое ожидание, дисперсия.

11.  Стандартные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, экспоненциальное, Эрланга, гамма, нормальное, логнормальное, Вейбулла, Релея, хи-квадрат, Стьюдента. Их характеристики: плотность и функция распределения, математическое ожидание, дисперсия.

12.  Производящие функции дискретных распределений. Их свойства и применение.

13.   Характеристические функции непрерывных распределений. Их свойства и применение. Операционное преобразование Лапласа–Карсона и Лапласа-Стилтьеса для непрерывных распределений. Их свойств и применение. 

14.  Как найти плотность распределения и моменты распределения при одномерном функциональном преобразовании случайных величин?

15.  Что такое двумерная случайная величина? Способы задания. Основные характеристики (плотность или матрица распределения, функция распределения) и их свойства.

16.  Моменты распределения двумерной случайной величины. Ковариация и корреляция, их свойства. Связь между ними.

17.  Условные распределения и условные моменты распределения для двумерного вектора. Независимость случайных величин. Связь условных и безусловных моментов. Регрессия. Условная дисперсия.

18.  Интегральная формула полной вероятности для двумерного случая.

19.  Интегральная формула Байеса для двумерного случая.

20.  Двумерное нормальной распределение. Формула для плотности вероятности. Свойства распределения.

21.  Двумерное функциональное преобразование случайного вектора. Получение плотности распределения отклика и моментов распределения.

22.  Распределение и моменты распределения суммы двух случайных величин.

23.  Распределение разности двух случайных величин.

24.  Распределение и моменты распределения произведения двух случайных величин.

25.  Распределение частного двух случайных величин.

26.  Какое функциональное преобразование приводит к распределениям Стьюдента и Релея?

27.  Как найти распределения и моменты распределения максимума и минимума двух случайных величин?

28.  Основные характеристики многомерной случайной величины и их свойства.

29.  Понятие попарной независимости и независимости в совокупности.

30.  Математическое ожидание и дисперсия суммы и произведения нескольких случайных величин.

31.  Интегральная формула полной вероятности в многомерном случае.

32.  Интегральная формула Байеса в многомерном случае.

33.  Закон больших чисел: содержательное и математическое определение.

34.  Понятия сходимости по вероятности и в среднеквадратическом.

35.  Закон больших чисел в формулировке Маркова, Чебышева, Бернулли и Пуассона.

36.  Центральная предельная теорема, ее суть и вероятностный механизм. Теорема Муавра-Лапласа, теорема Маркова, теорема Ляпунова.

Теория случайных процессов

Определение общего случайного процесса как обобщение понятия случайного вектора.

38.  Четыре способа задания и описания случайного процесса.

39.  Система классификации случайных процессов.

40.  Понятия чисто случайного процесса, процесса с независимыми приращениями, марковского процесса.

41.  Понятия стационарного и эргодического процессов.

42.  Что такое поток случайных событий и процесс восстановления?

43.  Свойства потоков событий. Вероятностные характеристики потоков событий.

44.  Определение потоков событий (простейшего, нестационарного пуассоновского, рекуррентного, типа Пальма, обобщенного пуассоновского) путем указания их свойств.

45.  Что такое марковская цепь? Два способа ее задания и описания.

46.  Классификация состояний неприводимой марковской цепи. Определения основных классов состояний.

47.  Формулировка эргодической теоремы для неприводимой марковской цепи.

48.  Формулировка теоремы о невозвратности состояний неприводимой марковской цепи. Применение этой теоремы.

49.  Постулаты дискретного марковского процесса с непрерывным временем.

50.  Два способа задания и описания дискретного марковского процесса с непрерывным временем.

51.  Основные характеристики дискретного марковского процесса с непрерывным временем и их взаимосвязь

52.  Уравнение Колмогорова-Чепмена для дискретного марковского процесса. 

53.  Прямая и обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова для условных вероятностей перехода (без вывода). Мнемоническое правило их составления по графу состояний.

54.  Прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей состояний дискретного марковского процесса с непрерывным временем.(без вывода). Мнемоническое правило составления этих уравнений по графу состояний.

55.  Система алгебраических уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей состояний дискретного марковского процесса (без вывода).

56.  Система дифференциальных уравнений для вероятностей выхода дискретного марковского процесса из заданного множества состояний.(без вывода).

57.  Система алгебраических уравнений для средних значений времени пребывания в заданном множестве состояний дискретного марковского процесса при указанном стартовом состоянии (без вывода).

58.  Случайный процесс гибели. Задание, описание, характеристики (перечисление).

59.  Процесс гибели и размножения. Задание, описание, характеристики (перечисление).

60.  Понятие о полумарковском процессе (ПМП). Три способа задания и описания ПМП. Их взаимосвязь.

61.  Основные характеристики полумарковского процесса.

62.  Вероятностные характеристики непрерывно-непрерывного случайного процесса (ННСП). Свойства функции и плотности распределения.

63.  Числовые характеристики ННСП. Понятия о автоковариационной и автокорреляционной функциях. Их свойства. Взаимно-корреляционная функция и ее свойства.

64.  Понятие о непрерывности ННСП. Определение. Необходимое и достаточное условие непрерывности ННСП.

65.  Понятие о производной ННСП. Определение. Характеристики производного процесса. Их связь с характеристиками основного процесса.

66.  Понятие о интеграле от ННСП. Определение. Характеристики интеграла и их связь с характеристиками основного процесса.

67.  Понятие о стационарном ННСП. Определение. Корреляционная функция стационарного случайного процесса (ССП). Ее свойства. Понятие интервала корреляции.

68.  Стационарно связанные случайные процессы. Взаимно-корреляционная функция ССП и его производной.

69.  Свойства интеграла от ССП.

70.  Эргодическое свойство ССП. Определение. Необходимые и достаточные условия эргодичности ССП.

71.  Понятие об энергетическом спектре ССП. Спектральная функция ССП. Спектральная плотность ССП. Теорема Хинчина-Винера.

72.  Основные свойства энергетического спектра.

73.  Взаимная спектральная плотность. Взаимный энергетический спектр ССП и его производной.

74.  Спектральная плотность суммы и произведения ССП.

75.  Понятие о ширине спектра. Связь между шириной спектра и периодом корреляции.

76.  Процессы с непрерывным спектром. Понятие об узкополосном и широкополосном СП. Белый шум.

77.  Понятие о процессах с дискретным спектром. Корреляционная функция процессов с дискретным спектром.

78.  Каноническое разложение СП. Каноническое разложение корреляционной функции. Спектр дисперсий.

79.  Понятие о преобразовании случайного процесса в линейной системе. Классификация способов преобразования. Определение понятий безинерционного и инерционного преобразования.

80.  Что такое импульсная переходная функция и передаточная функция линейной системы? Их взаимосвязь. 

81.  Как практически можно найти импульсную переходную функцию и передаточную функцию линейной системы ?

82.  Как найти характеристики отклика произвольной линейной системы на произвольной входное воздействие ?