Теплопроводность через цилиндрич стенки

Температуры поверхностей стенки –t_ст1 и t_ст2.

Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах:

Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r илиQ = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁), где: Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор;

λ – κоэффициент теплопроводности стенки.

Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут:q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м]. Температура тела внутри стенки с координатой d_х:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁).

Допустим цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (Рис.9.5).

Температура внутренней поверхности стенки –t_ст1, температуранаружнойповерхности стенки –t_ст2, коэффициенты теплопроводности слоев -λ₁, λ₂, λ₃, диаметры слоев d₁, d₂, d₃, d₄.

Тепловые потоки для слоев будут:

1-й слой: Q = 2·π· λ₁·l·(t_ст1 – t_сл1)/ ln(d₂/d₁),
2-й слой: Q = 2·π·λ₂·l·(t_сл1 – t_сл2)/ ln(d₃/d₂),

3-й слой: Q = 2·π·λ₃·l·(t_сл2 – t_ст2)/ ln(d₄/d₃),

Решая полученные уравнения, получаем для теплового потока через многослойную стенку:

Q = 2·π·l·(t_ст1 – t_ст2) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

Для линейной плотности теплового потока имеем:

q_l = Q/l = 2·π· (t₁ – t₂) / [ln(d₂/d₁)/λ₁ + ln(d₃/d₂)/λ₂ + ln(d₄/d₃)/λ₃].

Температуру между слоями находим из следующих уравнений: t_сл1 = t_ст1 – q_l·ln(d₂/d₁) / 2·π·λ₁

 t_сл2 = t_сл1 – q_l·ln(d₃/d₂) / 2·π·λ₂