Интегральная теорема Лапласа

Тема 7. Повторение испытаний (2 ч.)

Формула Бернулли

О. 1.Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимымиотносительно события .

Пусть проводится  независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие появится, либо нет.

Условимся считать, что вероятность события  в каждом испытании одна и та же и равна .

Тогда вероятность ненаступления события  в каждом испытании так же постоянна и равна .

Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли.

Теорема 1. Если вероятность  наступления события  в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность  того, что в  независимых испытаниях событие  появится ровно  раз, вычисляется по формуле

                                      .

Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515, определить вероятность появления в ней двух мальчиков.

Решение: .

Локальная теорема Муавра-Лапласа

При больших  пользоваться формулой Бернулли становится затруднительно.

Теорема 2. Если вероятность появления события  в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность  того, что в  независимых испытаниях событие  появится ровно  раз, приближенно вычисляется (тем точнее, чем больше ) по формуле                             

                                           , где

, .

Для определения значений функции  существуют специальные таблицы соответствующие положительным значениям аргумента . При отрицательных значениях аргумента пользуются теми же таблицами, т. к.  функция четная, т.е. .

Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень 80 раз.

Решение: Т. к. , то .

Тогда .

При этом вычисления по формуле Бернулли приводят к значению . Такие значительные расхождения связаны с недостаточно большим значением .

Формула Пуассона

Если число испытаний  достаточно велико, а вероятность появления события  в каждом испытании постоянна и равна , причем , то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным.

Теорема 3. Если вероятность  появления события  в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение  сохраняет постоянное значение, т. е. , то вероятность  того, что в  независимых испытаниях событие  появится  раз удовлетворяет предельному равенству:

      (2).

Строго говоря, условие теоремы 2:  при , нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой . Однако, если вероятность  постоянна и достаточно мала, а число  испытаний велико, причем произведение  незначительно, то из предельного равенства (2) можно записать приближенную формулу Пуассона:

.

Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия.

Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002  в 500-ю степень.

; .

Интегральная теорема Лапласа

Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем  достаточно велико.

Теорема 4.Если вероятность появления события  в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность  того, что в  независимых испытаниях событие  появится   до раз (не более , но не менее ), приближенно вычисляется по формуле                                 

    , где

, , .

Функцию  называют функцией Лапласа.

Для определения значений функции  существуют специальные таблицы соответствующие положительным значениям аргумента . При отрицательных значениях аргумента пользуются теми же таблицами, т. к.  функция нечетная, т.е. .

Пример 4. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку качества, равна . Найти вероятность того, что из 400 проверенных деталей бракованными окажутся не более 70, но не менее 100 деталей.

Решение: Т. к. , , то .