Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

Методы решения стереометрической задачи №14

ЕГЭ профильного уровня

                                                                      Наука не является и никогда не будет

                                                                                  являться законченной книгой.

                                                                                                                       А. Эйнштейн

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом. Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

 Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и пользуемся в школьном курсе геометрии. Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

· Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

· Находим координаты необходимых для нас точек.

·  Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

· Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.

Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.

  Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

   Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

   В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ.                                

Итак, задачи 14 из ЕГЭ – 2018. Какие же это задачи?

 Я бы хотела показать Вам разбор задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.

Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

• 0˚ < ∠(a;b)≤ 90˚ .

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚ .

• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

• При нахождении угла между прямыми используют:

1) формулу cosφ  =   для нахождения углаφ  между прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;

2) формулу cosφ  =   или в координатной форме   cosφ =

для нахождения угла φ между прямыми m и l , если векторы (х₁;у₁;z₁) и (х₂;у₂;z₂) параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы = 0 или x₁·x₂ + y₁·y₂+z₁·z₂ = 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми A₁D и D₁E , где Е – середина ребра CC₁ .

Решение.

1-й способ.  

 Пусть F – середина ребра ВВ₁ , а –ребро куба, φ - искомый угол.

Так как A₁ F ǁ D₁ E  , то φ - угол при вершине A₁ в треугольнике A₁FD.

Из треугольника BFD имеем

FD² = BD² + BF² = 2a² +  =  ,

 а из треугольника A₁B₁F  получаем

A₁ F ² = A₁B₁² + B₁F ² = a² + = , откуда

A₁F =

Далее в треугольнике A₁FD используем теорему косинусов

FD² = A₁D ² + A₁F ² –2 A₁D · A₁F cosφ,

 = 2а² + -  2  ·  · cosφ ,  откуда

cosφ = и φ = arccos  .

Ответ: arccos  .

Й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),

 Е(а; 0;  ).

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E

= , = .

Тогда

сosφ =  =  = .

cosφ = и φ = arccos  .

Ответ: arccos  .