Вычисление площадей поверхностей вращения

Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, полученная от вращения плоской дуги вокруг некоторой оси, расположенной с дугой в одной плоскости.

Пусть дана поверхность, образованная вращением дуги АВ кривой y=f(x) вокруг оси OX. Предположим y=f(x) непрерывная и дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Для вычисления площади полученной поверхности выделим элемент, заключенной между x и x+Δx.

Если , то полученный элемент можно считать усеченным конусом, площадь поверхности которого равна . Следовательно, площадь выделенного элемента . При  и второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое слагаемое и, следовательно, можем его отбросить  Проинтегрируем обе части от a до b

, где .

Пример. Определить площадь поверхности вращения, образованной вращением дуги параболы y²=2px, соответствующей изменению х от 0 до а.