Вычисление объема тел с помощью определенного интеграла

Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур

1.Если на отрезке [a, b] функция f(x)  то площадь криволинейной трапеции будет равна .

2. Если на [a, b] функция f(x) , то .

3. Если f(x) – конечное число раз меняет знак на [a, b], то интеграл есть алгебраическая сумма площадей, лежащих выше и ниже оси ОХ, то есть . Следовательно .

4. Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми , , причем , и прямыми x=a и x=b, то имеем:

.

.                        (1)

Пример. Найти площадь области, ограниченной линиями .

По формуле (1) имеем: . Найдем пределы интегрирования:

, , , ,

, .

(кв.ед).

Если плоская фигура ограничена линиями, заданными в параметрическом виде, то ее площадь находится с помощью замены переменной. Пусть кривая задана уравнениями y=f(t), x=φ(t). Отсюда

 dx=φ^/(t)dt, .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом  и осью ОХ.

Перепишем уравнение эллипса в параметрическом виде:

Тогда:

.

Площадь криволинейного сектора

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением  где - непрерывная функция, . Определим площадь криволинейного сектора ОАВ, ограниченного кривой и радиус – векторами α и β.

1. Разобьем данную область на n частей радиус – векторами.

2. Обозначим через   углы между проведенными радиус – векторами.

3. Обозначим через  радиус – вектор, соответствующий углу  

4. Вычислим площадь криволинейного сектора с радиусом  и центральным углом :

5. Составим сумму ступенчатого сектора:

.

6. Перейдем к пределу при условии, что max , получим:

.

Длина дуги кривой

Пусть дана кривая y=f(x). Найдем длину дуги кривой, заключенной между точками A и B. Для вычисления длины дуги разобьем ее на n частей точками A=М₀,М₁,М₂,…, М_n=B.

Абсциссами данных точек будут a=x₀, x₁, x₂,…,x_n=b. Проведем хорды. Длины этих хорд обозначим через . Введем обозначения:

 Используя теорему Пифагора получим, что . Разделим обе части равенства на . Так как дуга гладкая, значит, в каждой ее точке существует производная, а следовательно к дроби  можно применить теорему Лагранжа . Чтобы найти длину ломаной, стягивающей дугу AB нужно сложить все хорды, входящие в эту ломаную линию, то есть . Длиной дуги АВ называют тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Для нахождения дуги АВ в последнем равенстве перейдем к пределу:

Замечание 1. Так как подынтегральное выражение представляет собой:

 есть дифференциал дуги АВ.

Замечание 2. Если дуга АВ задана в параметрическом виде:

следовательно:

.

Замечание 3. Если дуга АВ задана в полярной системе координат, то используя связь между декартовой и полярной системами координат имеем:

Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические, применив для них предыдущую формулу:

Пример. Вычислить длину дуги астроиды (это кривая, заданная уравнением ).

Решение. В параметрическом виде уравнение имеет вид:    а длина дуги астроиды равна L=4L_1. Вычислим:

L₁=

= .

Следовательно: .

Вычисление объема тел с помощью определенного интеграла

Вообще объемы тел вычисляются с помощью кратных интегралов. С помощью определенного интеграла решается частная задача вычисления объема тела с известным поперечным сечением (в основном это объемы тел вращения). Пусть требуется вычислить объем тела, площадь поперечного сечения которого, известна.

Пусть это тело заключено между параллельными плоскостями. Проведем ось, перпендикулярную этим плоскостям, и замерим расстояние вдоль оси между этими плоскостями.

Пусть x=a и x=b отсюда r=[a; b]. Площадь поперечного сечения зависит от положения секущей плоскости, то есть зависит от х. Для вычисления объема тела сделаем следующее.

1. Проведем плоскости .

2. Вычислим объем диска, заключенного между плоскостями ,

3. Если , то диск можно приблизительно считать цилиндрическим, тогда .

4. Так как главная часть приращения функции есть дифференциал, то при

5. Вычислим интеграл от обеих частей этого равенства:

.

 Этой формулой пользуются при вычислении объема тел вращения.

Телом вращения называется тело, полученное при вращении криволинейной трапеции вокруг некоторой оси.

Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапецией, ограниченной кривой y=f(x), осью ОХ и прямыми x=a и x=b. В этом случае проведенное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, есть круг, площадь которого равна:

Замечание. Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси ОУ, то объем будет вычислен по формуле  где x= ,