Признаки параллельности двух прямых.

Дано: Доказать:

ΔABC, . ΔABC= ΔA₁B₁C₁

ΔA₁B₁C₁,

AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁

Доказательство:

Так как AB=A₁B₁, то треугольник A₁B₁C₁ можно наложить

 на треугольник ABC так, чтобы

· сторона A₁B₁ совместилась со стороной AB,

· точки C₁ и С лежали по одну сторону от прямой AB.

Поскольку ∠A=∠A₁, сторона A₁С₁ при этом наложится на луч AC.

Так как ∠B=∠B₁, сторона B₁C₁ наложится на сторону BC.

Точка С₁ принадлежит как стороне A₁С₁, так и стороне B₁C₁, поэтому С₁лежит и на луче AC, и на луче CB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С₁ совместится с точкой C.

Значит, сторона A₁С₁ совместится со стороной AC, а сторона B₁C₁ — со стороной BC.

Таким образом, при наложении треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся.

А это означает, что ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по определению).

Билет 3

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Два смежных углы образуют развернутый угол.                               

Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Угол, смежный с прямым углом, является прямым.

Угол, смежный с острым углом, тупой.

Угол, смежный с тупым углом, является острым.

Любой луч, исходящий из вершины развернутого угла и проходящий между сторонами разделяет его на два смежные углы.

Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Два угла, смежные с одним и тем же углом, равны.

Если два смежных углы равны, то они прямые.

2.Теорема Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: АВ = А1В1, В1С1=ВС АС=А1С1 Доказательство.                              Доказать: трАВС = трА1В1С1 Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны. Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠∠ A1, ∠ B ≠∠ B1, ∠ C ≠∠ C1 одновременно. Иначетреугольникибылибыравныпопервомупризнаку. Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1. Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Билет 4

1.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке углы 1 и 3, а также 2 и 4 – вертикальные.

 Вертикальные углы обладают следующим      свойством. Свойство.Вертикальныеуглы равны.

2.

Билет5

1.Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части - минута и секунда - укладываются в данном угле, то есть градусная мера - величина, отражающая количество градусов, минут и секунд между сторонами угла.

Градус (от лат. gradus - деление шкалы, шаг, ступень) - единица измерения плоских углов в геометрии. Обозначается - .

2.

2.

Билет 6

1.

Периметром треугольника называется сумма всех его сторон Р = АВ + ВС = АС

2.

Билет 7

1. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки.

 

Равнобедренный треуг ольник — треугольник у которого равны две стороны. AB = BC — боковые стороны; AC — основание равнобедренного треугольника. Равносторонний треугольник — треугольник у которого все стороны равны. A 1B 1 = B 1C 1 = A 1C 1 — стороны треугольника. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Свойства равнобедренного треугольника: • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; в равнобе дренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; • в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой; • в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2.

Билет 8

1. Медиана, биссектриса и высота треугольника.

 

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике можно провести 3 медианы. Все они пересекаются в одной точке, в центре (центре тяжести) треугольника. AK = KC , BK — медиана ABC , О — центр A 1B 1C 1 .

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне. Обратите внимание, что биссектриса угла — это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника — это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника. BK — биссектриса ABC , A 1О — биссектриса C 1A 1B 1 . В каждом треугольнике можно провести 3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке, обычно обозначаемой латинской буквой I .

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Признаки параллельности двух прямых.

Следствие 1. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны

Билет 9

1. Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника. На рисунке:∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой

Теорема (о внешнем угле треугольника)

123Следующая ⇒