Тема. Элементы корреляционно-регрессионного анализа

А  Парная регрессия. Теоретическая линейная регрессионная модель имеет вид:

где X – неслучайная (детерминированная) величина, а Y,  − случайные величины. Y называется объясняемой (зависимой) пе­ременной, а  – объясняющей (независимой) переменной (фактором) или регрессором. Оценкой теоретической функции регрессии по выборке , , ограниченного объема n является эмпирическое (выборочное) уравнение регрессии:

(1)

где  – оценка условного математического ожидания ;  и – оценки неизвестных параметров  и , называемые выборочными коэффициентами регрессии.

Для конкретного наблюдения  имеем: , где остаток регрессии  − оценка теоретического случайного откло­нения .

Оценка параметров  и  уравнения (1)  осуществляется методом наименьших квадратов.Система нормальных уравнений для определения параметров линейной парной регрессии МНК имеет вид:  Решения системы  и  можно найти по формулам:

 где  − выборочные средние значения переменных.

Выборочный коэффициент регрессии  показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Для оценки влияния фактора x на результативный признак y применяется коэффициент эластичности  или . Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%.

Тесноту линейной связи изучаемых явлений оценивает коэффициент парной корреляции :

,

где ,  – средние значения независимой и зависимой переменной;

,  — средние квадратические отклонения случайных величин X и Y

,  .

Чем ближе  к единице, тем теснее связь. При  линейная корреляционная связь отсутствует. Для проверки значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента:

.

Если , то значение коэффициента корреляции признается значимым, в противном случае – незначимым ( ).

Проверка общего качества уравнения регрессии – соответствие уравнения регрессии статистическим данным. Суммарной мерой качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации . В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции: . Величина  показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Причем  для регрессии (1). Чем ближе  к единице, тем лучше уравнение регрессии аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линейной регрессии.

БМножественная регрессия. Уравнение множественной эмпирической линейной регрессии имеет вид: , где  – i-е наблюдение зависимой переменной,  – i-е наблюдения независимых переменных ,  – количество наблюдений (объем выборки);  – ко­личество независимых переменных в уравнении.

Коэффициенты  показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности значений других факторов. Коэффициенты эластичности  показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумен­та на 1%.

Коэффициенты парной корреляции ,  используются в качес­тве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных. Коэффициент корреляции принимает значение от -1 до +1. Если , то корреляционная связь между перемен­ными является прямой, если – обратной.

Если , корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При =0 линейная корреляционная связь отсутствует.

Качественные характеристики связи

Множественная корреляция возникает от взаимодей­ствия нескольких факторов с результативным показателем.

В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле: .

Для проверки адекватности модели используется F-статистика (критерий Фишера)

.

Если при заданном уровне значимости  расчетное значение критерия   больше табличного , где степени свободы ,  то модель счи­тается значимой, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется, призна­ется их статистическая значимость.