Дифференцирование произведения и частного функций.

Теорема. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функции f+g, f*g, f/g (при условии, что ), и при этом

,

Доказательство: Обозначим и . Тогда при , так как существуют и . Кроме того, , , где , так как функции f и g непрерывны в точке x.

а) Если y=f(x)+g(x), то

-f(x)-g(x)= ,

откуда

Правая часть этой формулы имеет при предел, равный Поэтому существует предел левой части, который по определению равен (f(x)+g(x))'. Формула производной суммы доказана.

б) Если y=f(x)*g(x), то

= = =

Так как при , то . Таким образом, доказана формула произведения.

в) Если , то

=

откуда

=

Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что при , где , получаем формулу для производной частного.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке , и если существует , то функция , обратная к функции y=f(x), дифференцируема в точке , причём

Доказательство. Пусть функция f строго возрастает на отрезке . Обозначим , . По теореме об обратной функции на отрезке определена функция , обратная к , непрерывная и строго возрастающая, причём , так как .

Пусть - приращение независимой переменной такое, что . Обозначим . Нужно доказать, что существует предел отношения при , равный .

Заметим, что если , то , так как в противном случае при , то есть функция принимает одинаковые значения в двух различных точках, что противоречит свойству строгого возрастания функции . Поэтому при справедливо равенство

Пусть , тогда , так как функция непрерывна в точке . Но если , то существует .

Итак, правая часть равенства имеет предел, равный . Поэтому и в левой части этого равенства существует предел, который, согласно определению, равен . Искомая формула доказана.