Неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Общая методика их решения.

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры №№1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Всё!

Ответ: общее решение:

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Пример 3

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:



, – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: .

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора необходимо домножить на «икс». То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части .

Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем .
Найденное значение подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение:

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .

Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:




Сократилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: .