Которые принадлежат ему в некотором отношении...

Отсюда мы уже приступаем как бы ко второму слою индивидуальности, что сводится к вопросу: в каком аспекте бесконечное множество простейших тел принадлежит тому или иному индивиду? В каком аспекте? В каком аспекте бесконечное множество простейших тел принадлежит тому или иному индивиду? Разумеется, тут я имею бесконечное множество бесконечно малых частей. Но в каком аспекте это бесконечное множестве принадлежит мне? Вы видите, что я только что с трудом преобразовал вопрос, потому что когда я спрашиваю, в каком аспекте бесконечное множество принадлежит мне, то это иной способ спрашивать о том, что позволит мне отличать одно бесконечное множество от другого бесконечного множества. Опять-таки, на первый взгляд, в бесконечном все должно слиться; это должны быть черная ночь или белый свет. Что же способствует тому, что я могу отличать одни бесконечности от других? В каком аспекте о бесконечном множестве говорят, что оно принадлежит мне либо принадлежит кому-либо иному?

Ответ Спинозы, по-моему, таков: бесконечное множество бесконечно малых частей принадлежит мне, а не другому, в той мере, в какой это бесконечное множество осуществляет некое отношение. Части всегда принадлежат мне в каком-либо отношении. Получается, что – если части, из которых состою я, вступают в иные отношения – в этот самый момент они больше не принадлежат мне. Они принадлежат другой индивидуальности, они принадлежат другому телу. Отсюда вопрос: каково это отношение? В каком отношении о бесконечно малых элементах можно сказать, что они чему-то принадлежат? Если я отвечу на этот вопрос, то у меня действительно появится ответ, которого я искал! Я показал бы, при каком условии о бесконечно малом множестве можно сказать, что оно принадлежит конечной индивидуальности. В каком отношении бесконечно малые могут принадлежать конечной индивидуальности? Хорошо. Ответ Спинозы, если я буду придерживаться буквы Спинозы, таков: при определенном соотношении движения и покоя. Правда, всегда, говоря о соотношении движения и покоя, мы знаем, что это отнюдь не означает [Неразборчиво] и что мы были бы неправы, слишком быстро читая текст [Неразборчиво]; это означает вовсе не сумму, как у Декарта (это мы видели: соотношение движения и покоя не может быть картезианской формулой mv, масса Х скорость). Нет, Декарт не сказал бы «отношение». Стало быть, то, что определяет индивида, есть соотношение движения и покоя, потому что именно при таковом отношении бесконечное множество бесконечно малых частей принадлежит индивиду. И получается: что такое это соотношение движения и покоя, на которое так часто ссылается Спиноза?

Простые и сложные маятники

Здесь я вновь начинаю сопоставление с комментариями Геру. Геру выдвигает чрезвычайно интересную гипотезу, но в этом месте я ее также не понимаю: я не понимаю, почему он предлагает вот эту гипотезу, однако она очень интересна. Геру утверждает: в конечном счете отношения движения и покоя являются вибрацией. Этот ответ представляется мне весьма любопытным. Необходимо, чтобы ответ был очень четким: это вибрация! Что это означает? Это означает, что то, что определяет индивида (на уровне его второго слоя), а именно, отношение, в каком ему принадлежат части, бесконечно малые части, есть один из видов вибрации. Каждый индивид... Ну-ка, это могло бы быть, это было бы очень конкретным: то, что определяет вас, меня, есть некая разновидность способа вибрации. Почему бы и нет? Почему бы... Что вот это все означает? Либо это метафора, либо это что-то означает. К чему отсылает в физике вибрация? Это отсылает к простейшему и хорошо известному явлению, феномену маятника. Посмотрим: гипотеза Геру как будто бы наделяется весьма интересным смыслом, потому что физика в XVII веке много изучала вращающиеся тела и маятники и, что важно, обосновала различение между простыми и сложными маятниками. Тогда вот... в этот самый момент вы видите, что гипотезу Геру можно сформулировать так: каждое простое тело есть простой маятник, а индивид, состоящий из бесконечного множества простых маятников, есть сложный маятник. Тогда все мы были бы сложными маятниками. Ух, как хорошо! Или вращающимися дисками. Это интересная концепция каждого из нас. Что же она означает? И действительно, простой маятник определяется чем? Он определяется, если вы смутно помните воспоминания из физики, причем из очень простой физики, через время, время вибрации или время колебания. Для тех, кто вспоминает, существует знаменитая формула:

Т – это продолжительность колебания, I – длина нити, к которой подвешен маятник, р – то, что в XVII веке называли интенсивностью тяготения, неважно... Ладно. Что важно, так это то, что простой маятник имеет время колебания, не зависящее от амплитуды колебания, – то есть от расстояния между точкой равновесия и точкой, куда вы отодвигаете стержень маятника, – следовательно, совершенно от амплитуды колебаний не зависящее, от массы маятника [Неразборчиво], это хорошо соответствует ситуации с бесконечно малым телом и не зависит от веса нити. Вес нити, масса маятника вступят в игру лишь с точки зрения сложного маятника. Стало быть, похоже, что с тысячи точек зрения гипотеза Геру работает. Следовательно, можно было бы сказать: вот ответ. Хорошо. Это ответ, очень хорошо. Индивиды для Спинозы – это своеобразные разновидности сложных маятников, и каждый состоит из бесконечного множества маятников простых. А то, что определяет индивида, есть вибрация. Ладно.

Итак, я высказываю это очень приблизительно; я пытаюсь разработать это для тех, кто интересуется Спинозой исключительно технически; прочие из вас могут запомнить из этого то, что им угодно... В то же время это любопытно, потому что эта гипотеза привлекает меня, и я не могу как следует понять, почему. Существует одна вещь, которая меня настораживает: дело в том, что вся история маятников и вращающихся дисков в XVII веке очень продвинута, но как раз если Спиноза имел в виду именно это, то почему он не сделал даже намека на эти проблемы вибраций, даже в письмах? И потом: модель маятника совсем не учитывает то, что мне кажется существенным, а именно: этого присутствия актуальной бесконечности и термина «бесконечно малый». Вы видите: ответ Геру, когда он комментирует Спинозу, таков: соотношение движения и покоя следует понимать как вибрацию простого маятника. Вот так. Я отнюдь не утверждаю, что я прав, действительно нет... Геру утверждает, что простые тела обладают у Спинозы, несмотря ни на что, фигурой и величиной. Предположите обратное [Неразборчиво], предположите, что очень простые тела поистине являются бесконечно малыми, то есть что они не имеют ни фигуры, ни величины. Вот в этот момент модель простого маятника работать не может, и не может быть, что вибрация определяет отношение движения и покоя.

Зато у нас есть другой путь, а потом вы, возможно, можете найти еще. Другим путем мог бы быть следующий, – я еще раз возвращаюсь к своему вопросу: какие типы отношений могут существовать между термами, которые предполагаются бесконечно малыми? Ответ совсем прост: между бесконечно малыми термами – если мы понимаем то, что в XVII веке означало «бесконечно малое», то есть не имеющее дистрибутивного существования, но с необходимостью входящее в некую бесконечную совокупность, – ну что ж, между бесконечно малыми термами может иметься только один тип отношения: дифференциальные отношения. Почему? Бесконечно малые термы суть термы исчезающе малые, то есть отношения, которые остаются, когда исчезают термы. Вопрос – совсем простой – таков: каковы отношения, остающиеся, когда исчезают их термы?

Три типа отношений

Займемся простой математикой. Я считаю, что я говорю очень элементарно, – я считаю, что в XVII веке были известны три типа отношений:

> дробные отношения, которые известны очень-очень давно;

> алгебраические отношения, которые известны [Неразборчиво] и предощущались задолго до этого, что само собой разумеется [Неразборчиво], однако они получили очень точный статус в XVI и XVII веках, – в XVII веке, если иметь в виду Декарта, то есть в первую половину XVII века;

> и, наконец, дифференциальные отношения, которые в эпоху Спинозы и Лейбница представляли собой великий вопрос для математиков.

Я приведу примеры. Мне хотелось бы, чтобы это было прозрачным для вас, даже если то, чем я занимаюсь, отнюдь не математика:

> пример дробного отношения: ²/₃;

> пример алгебраического отношения: ах + by = и так далее. Отсюда вы можете вывести х/у равно:

> пример дифференциального отношения, мы его видели: dx/dy = z.

Хорошо. Какое различие существует между этими тремя типами отношений? Я бы сказал, что дробное отношение является несводимым. Почему? Если я говорю ²/₃,то ²/₃ – это опять-таки не число. Почему ²/₃ – не число? Потому что невозможно назначить число, которое, будучи умноженным на 3, дает 2. Стало быть, это не число. Дробь не есть число, это комплекс чисел, которые я решаю условно считать числом, то есть которые я условно подчиняю правилам сложения, вычитания, умножения. Но дробь, очевидно, не число. Как только я нахожу дробь, я могу трактовать числа как дроби, то есть, как только я начинаю пользоваться символикой дробей, я могу считать число, например, дробью от 2: я всегда могу записать 4 над 2: 4 над 2 = 2. Но дроби, в своей несводимости к целым числам, чисел не имеют: это комплексы целых чисел. Хорошо. Стало быть, уже дробь способствует возникновению своего рода независимости отношения от своих термов. В этом очень важном вопросе логики отношений вся отправная точка данной логики, очевидно, такова: в каком смысле существует непротиворечивость отношения независимо от его термов? Дробное число может дать мне уже своего рода первое приближение, но это не препятствует тому, что в дробном отношении термы следует еще более специфицировать. Термы должны быть специфицированы, то есть вы всегда можете надписать 2 над 3, но отношение здесь – между двумя термами: 2 и 3. Оно несводимо к этим термам, поскольку само является не числом, а комплексом чисел; но они должны быть специфицированными, термы должны быть даны.

Еще один шаг. Когда я имею алгебраическое отношение типа x, деленное на y, на сей раз у меня нет заданных термов, у меня есть две переменные. У меня есть переменные. Вы видите, что все происходит так, как если бы отношение приобрело степень независимости, высшую по отношению к его термам. У меня больше нет необходимости назначать какое-либо детерминированное значение. В дробном отношении я не могу избегнуть следующего: я должен назначать детерминированное значение термам отношения. В алгебраическом же отношении у меня даже нет больше необходимости назначать детерминированное значение термам отношения. Термы отношения суть переменные. Но, тем не менее, еще необходимо, чтобы мои переменные имели детерминируемое значение. Иными словами, x и y могут иметь всевозможные разновидности сингулярных значений, но они должны иметь хотя бы одно. Вы видите: в дробном отношении я могу иметь лишь одно сингулярное значение либо же эквивалентные сингулярные значения. В алгебраическом отношении у меня больше нет необходимости в каком-либо сингулярном значении; это не препятствует тому, что мои термы по-прежнему имеют специфицируемое значение, и это отношение действительно не зависит от любого конкретного значения переменной, но зависит от детерминируемого значения переменной.

Дифференциальное отношение

Вот что совсем ново в дифференциальном отношении: мы устраиваем его, делая третий шаг. Когда я говорю dy/dx, вы помните то, что мы видели: dy по отношению к y равно нулю: это бесконечно малая величина, dx по отношению к x равно нулю: стало быть, я могу записать это – и в XVII веке постоянно так и пишут – в такой форме: dy /dx = 0/0. Но ведь отношение 0/0 не равно нулю. Иными словами, когда исчезают термы, отношение остается. На этот раз термы, между которыми устанавливается отношение, не являются ни детерминированными, ни даже детерминируемыми. Единственно детерминируемым является отношение между его термами. Именно здесь логика делает скачок, и скачок основополагающий. В этой форме дифференциального исчисления открыта область, где отношения уже не зависят от их термов: термы сводятся к исчезающим величинам, а отношение между этими исчезающими величинами не равно 0. Так что я записал бы – здесь я передаю все очень приблизительно: dy/dx = z.Что означает “= z “? Это, разумеется, означает, что дифференциальное отношение dy/dx, которое складывается между исчезающей величиной х и исчезающей величиной у, строго говоря, ничего не сообщает нам об x и y, но кое-что сообщает нам о z. Например, примененное к окружности, дифференциальное отношение dy/dx кое-что говорит нам о касательной, называемой «геометрическая касательная».

Оставаясь на самом простом уровне, нет необходимости ничего понимать; я могу, стало быть, записать dy/dx = z. Что это означает? Смотрите, что отношение – в том виде, в каком оно существует, – когда его термы исчезают, отсылает к некоему третьему терму z. Это интересно: это должно быть очень интересно: именно исходя отсюда возможна некая логика отношений. Что вот это значит? О z мы скажем, что это предел дифференциального отношения. Иными словами, дифференциальное отношение стремится к некоему пределу. Когда исчезают термы отношения, x и y становятся dy и dx; когда термы отношения исчезают, остается отношение, потому что оно стремится к пределу z. Когда устанавливается отношение между бесконечно малыми термами, это не отменяет в то же время того, что оно стремится к некоему пределу. Такова основа дифференциального исчисления в том виде, как его понимали или интерпретировали в XVII веке.

Отношения движения и покоя

Отныне вы понимаете, почему эта интерпретация дифференциального исчисления образует единое целое с пониманием некоего актуального бесконечного, то есть с идеей бесконечно малых величин исчезающих термов. Отныне я даю свой ответ на вопрос: ну что же, в самом деле, Спиноза говорит нам, говоря об отношениях движения и покоя, о пропорциях движения и покоя, заявляя: бесконечно малые, бесконечная совокупность бесконечно малых принадлежит к такому-то индивиду при таком-то отношении движения и покоя; что есть это отношение? Я не смог бы заявить, подобно Геру, что это некая вибрация, уподобляющая индивида маятнику; это дифференциальное отношение. Это дифференциальное отношение в том виде, как оно выявляется в бесконечных множествах, бесконечно малых.

И действительно, если вы возьмете письмо Спинозы о крови, которое оказало мне неоценимую помощь, и две составные части крови – хилус и лимфу, то, что оно, в сущности, говорит нам? Оно сводится к тому, что существуют корпускулы хилуса, или же, скорее, что хилус есть бесконечное множество простейших тел. Лимфа – это другое бесконечное множество простейших тел. Что же отличает два бесконечных множества? Здесь именно что дифференциальное отношение. На сей раз, вы видите dy/dx, которое таково: бесконечно малые части хилуса, деленные на бесконечно малые части лимфы, и это дифференциальное отношение стремится к некоему пределу: а именно, хилус и лимфа образуют кровь. Если бы дело обстояло так, мы могли бы спросить, почему бесконечные множества различаются? Это происходит потому, что бесконечные множества простейших тел не существуют независимо от осуществляемых ими дифференциальных отношений. Стало быть, это происходит через абстрагирование, с которого я начал говорить о них. Но они неизбежно существуют при том или ином переменном отношении. Они не могут существовать независимо от какого-либо отношения, потому что само понятие бесконечно малого терма, или исчезающе малой величины, не может определяться независимо от некоего дифференциального отношения. Опять-таки dx не имеет ни малейшего смысла по отношению к х, dy не имеет ни малейшего смысла по отношению к y; смысл имеет только отношение dx/dy. Это означает, что бесконечно малые не существуют независимо от дифференциального отношения.