УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.В пространстве в качестве фигур чаще всего рассматриваются поверхности. Примерами поверхностей являются плоскость, сфера, цилиндрические и конические поверхности и др. Условием, определяющим поверхность в данной системе координат, является, как правило, уравнение которому удовлетворяют координаты точек, принадлежащих поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей.

Определение. Поверхность называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат она задается алгебраическим уравнением                               Ф(x,y,z)=0                       (7)      

где Ф(x,y,z) - многочлен от переменных х, у и z, то есть сумму конечного числа слагаемых вида а_mnkх^mуⁿz^k (где m,n,k ÎZ- неотрицательные числа, а_mnkÎR).

Порядком алгебраической поверхности называется степень определяющего его в некоторой аффинной системе координат алгебраического уравнения.

Теорема. Понятие алгебраической поверхности и ее порядка не зависит от выбора аффинной системы координат, а именно, имеет место

Доказательство аналогично доказательству теоремы об алгебраической линии

Определение.Всякая неалгебраическая поверхность называется трансцендентной.

ПРИМЕРы. 1). Уравнение 4х³+3z²у²–23уz+у+1=0  задает в пространстве алгебраическую поверхность 4-го порядка, уравнение х³+sin у– cos z = 0 задает трансцендентную поверхность.

2) Поверхность второго порядка, определяемая уравнением х²-z²=0, распадается на поверхности, определяемые уравнениями х+z=0 и х-z=0.

3)  В некоторой пдск уравнение сферы S  с радиусом R и центром в точке М₀(a,b,с) имеет вид:                                       (х-а)²+(у-b)² +(z-c)²= R²                                                           (8)

так как точка М(х,у,z) лежит на S тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками М(х,у,z) и М₀(a,b,c) равен R². Таким образом, координаты любой точки, лежащей на данной сфере, удовлетворяют уравнению (8), а координаты любой точки, не лежащей на данной сфере,  ему не удовлетворяют.

В случае, когда центр сферы радиуса R находится в начале координат, уравнение поверхности имеет более простой вид:                                  х² + у² +z²= R² .                                                (9)

Замечание.  Уравнение сферы (8) можно записать в виде                    х² + у² + z² +Аx+By+Cz+D =0,  (10)

где A=-2a, B=-2b, C=-2c, D=a²+b²+c²-R².

Однако, уравнение вида (10) не всегда является уравнением сферы. Можно доказать, что только если его коэффициенты удовлетворяют условию А²+B²+С²-4D>0, то поверхность, заданная уравнением (10)  есть сфера с центром  и радиусом .

4.Для параметрического задания поверхности координаты ее произвольной точки представляют как функции двух параметров u и v:                    х = j(u, v), у = ψ(u, v), z= c( u, v)                 (11)

ПРИМЕР. Сфера радиуса R с центром в начале координат может быть задана параметрическими уравнениями следующим образом:  x=R cos u sin v, y=R sin u sinv, z=R cos v.                   (12)

Для того чтобы все точки сферы определялись однозначно, будем ограничивать область изменения параметров u и v промежутками     0£ u£2p, 0£ v £p.

5. Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Пусть в некоторой аффинной системе координат пространства заданы уравнения поверхностей S₁ и S₂:     Ф₁(х, у, z)=0 и Ф₂(х, у, z)=0. Пусть g= S₁ÇS₂ - линия пересечения поверхностей. Тогда обоим уравнениям, определяющим поверхности, удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии g, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей линии g.

    Таким образом, система двух уравнений (13) определяет линию g в пространстве, то есть является уравнением этой линии.

ПРИМЕР.Пара уравнений  х² + у² =4 и z = 0 в пдск определяют окружность с центром в начале координат и радиусом 2, лежащую в координатной плоскости Оxy.

Замечание.Линию в пространстве можно представить системой двух уравнений более чем одним способом, так как может существовать не одна пара поверхностей, пересекающихся по этой линии.

ПРИМЕР. Окружность из предыдущего примера может быть также получена пересечением двух сфер, заданных уравнениями х² + у² +z²=4 и х²+у² +(z-2)² =8.

Замечание.Не любая система двух уравнений определяет в пространстве линию, так как существуют не пересекающиеся поверхности.

6. Как и в случае плоской линии можно рассматривать параметрическое представление линии в пространстве, задавая координаты х, у  и z любой точки линии в виде непрерывных функций некоторого параметра t. В этом случае параметрические уравнения линии имеют вид:

х = j(t), у = ψ(t), z= c(t)                                   (14)

ПРИМЕР.В пдск Охуz окружность с центром в начале координат и радиусом 2, лежащая в плоскости Оху, может быть задана системой уравнениями х² + у² =4, z = 0. На плоскости Оху параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом r=2  имеют вид:   х =2cos t , у =2sin t, где 0£ t<2p. Очевидно, эта окружность в пространстве задается уравнениями

х = 2cos t, у =2sin t, z = 0,

где 0£ t<2p.