УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

1. Фигурой называется любое множество точек. Условием, определяющим фигуру в данной системе координат, называется уравнение, неравенство или их система, которым 1) удовлетворяют координаты точек, принадлежащих фигуре, и  2) не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой фигуре.

Уравнением фигуры называется уравнение, определяющее эту фигуру в данной системе координат.

Определение. В аффинной системе координат Оху на плоскости уравнение      Ф(x,y)=0         (1)

определяет линию и называется уравнением линии в этой системе координат, если координаты х, у любой точки, принадлежащей линии, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей линии, ему не удовлетворяют

Определение Линия (на плоскости) называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат ее уравнение имеет вид Ф(x,y)=0 , где Ф(x,y) – многочлен от переменных х и у, то есть сумму конечного числа слагаемых вида а_mkх^mу^k (m,kÎZ, m³0, k³0, а_mn ÎR).

При этом степень члена а_mkх^mу^k  -  число m+k, степень многочлена Ф(х,у) -наивысшая из степеней всех его членов.

Определение. Степень многочлена Ф(х,у) называется порядком алгебраической линии (1)

Теорема. Понятие алгебраической линии и ее порядка не зависит от выбора аффинной системы координат.

□Пусть даны две аффинные системы координат на плоскости: I=(О, , ) и  II=(О¢, , ). И пусть линия g в системе I определяется уравнением Ф(х,у) = 0, где Ф(х,у) – многочлен степени n.

Формулы перехода от I к II имеют вид: ,       (2)

Чтобы получить уравнение g в системе II, подставим (2) в (1) При этом в правой части уравнения получим сумму слагаемых вида   a_mk( )^m( )^k, то есть многочлен от переменных . Таким образом, понятие алгебраической линии не зависит от выбора системы координат. Кроме того, уравнение линии g в системе II – алгебраическое уравнение степени, не выше, чем n. Следовательно, при переходе к новой системе координат порядок линии увеличиться не может.

Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы координат I и II, то получим, что указанное алгебраическое уравнение в системе II имеет степень не ниже чем n, Иначе переход от II к  I повысил бы степень уравнения. Таким образом, линия g определяется в новой системе координат II алгебраическим уравнением степени n. ■

Определение. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

ПРИМЕРы. 1)Уравнение  х³у+х–у=0 определяет алгебраическую линию 4-го порядка, а уравнение х+sin у=0 задает трансцендентную линию.

2) Уравнеиех²+х=0 определяет линию 2-го порядка. Заметим, что х²+х=х(х+1), а значит линия распадается на две линии, определяемые уравнениями х=0 и х+1=0.

3)  В некоторой пдск на плоскости уравнение (х-а)²+(у-b)²= r ² (3) определяет окружность с центром М₀(a,b)  и радиусом  r.

    В самом деле, окружность w – это  есть множество точек, удаленных от точки  М₀   на расстояние r, то есть  точка М(х,у)Îw Û М₀М=r Û ²= r², где (х-а, у-b) Û (х-а)²+(у-b)²=r² . Т.о. координаты любой точки, лежащей на w, удовлетворяют уравнению (3).

   Если М₁(х₁, у₁)Ï w Û М₀М₁¹r Û ²¹ r², где (х₁-а, у₁-b) Û (х₁-а)²+(у₁-b)²¹r². Т.о.

 координаты любой точки, не лежащей на w, не удовлетворяют уравнению (3).

Уравнение окружности радиуса r >0 с центром в начале координат имеет вид:      х² + у² = r². (3¢)

Замечание.    Уравнение окружности (3) можно записать в виде       х² + у² +Аx+By+С = 0,   (4)

где A=-2a, B=-2b, С=a²+b²-R².   Т.е. окружность – линия 2-го порядка.

Однако, уравнение вида (4) не всегда является уравнением окружности.

Пусть в некоторой пдск задано уравнение х²+у²+Аx+By+С=0. Выясним, какое множество точек на плоскости определяет это уравнение.

□ Выделим полные квадраты в левой части: . Сравнивая с (3): 

а) если А²+B²-4С>0, то (4) - окружность с центром   и радиусом .

б) если А²+B²-4С=0, то уравнению (4) удовлетворяет единственная пара чисел х= , у= В. Значит оно задает единственную точку плоскости с координатами .

в) если А²+B²-4С<0, то уравнению (4) вовсе не удовлетворяют никакие пары действительных чисел, то есть оно не определяет ни одной (действительной)точки на плоскости. ■

Следствие. Не всякое уравнение вида (1) определяет на плоскости линию.

2.Для аналитического представления линии часто бывает удобным выражать переменные координаты х и у точек этой линии через третью вспомогательную переменную (параметр):    

х = j(t), у = ψ(t),                                                         (5)

где функции j(t) и ψ(t) - непрерывны по параметру t в некоторой области изменения этого параметра. Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями линии.

ПРИМЕР. Пусть на плоскости в пдск   (О, , ) найдем параметрическое уравнение окружности радиуса    r >0 с центром в т.О.

Для любой точки М(х,у) этой окружности обозначим через t ориентированный угол между вектором  и радиусом-вектором точки М

Тогда координаты точки будут определяться так:  

х = r cos t , у = r sin t  (6)

- параметрические уравнения окружности. Чтобы каждой точке М(х,у) окружности соответствовало единственное значение параметра t, ограничим область его изменения полуинтервалом 0£ t <2p.